Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58905 / 46013
↖ ↑ ↗
← N 47.165442°
W 18.212585°		 ← 207.65 m → N 47.165442°
W 18.209839°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
N 47.163575°
W 18.212585°		 ← 207.66 m →
43 116 m²		 N 47.163575°
W 18.209839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449413299560547 y=0.351055145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449413299560547 × 217)
    floor (0.449413299560547 × 131072)
    floor (58905.5)     		tx = 58905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351055145263672 × 217)
    floor (0.351055145263672 × 131072)
    floor (46013.5)     		ty = 46013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58905 / 46013 ti = "17/58905/46013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58905/46013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58905 ÷ 217
    58905 ÷ 131072     		x = 0.449409484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46013 ÷ 217
    46013 ÷ 131072     		y = 0.351051330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449409484863281 × 2 - 1) × π
    -0.101181030273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.31786958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351051330566406 × 2 - 1) × π
    0.297897338867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.935872091282356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31786958} λ = -0.31786958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935872091282356))-π/2
    2×atan(2.54943582930439)-π/2
    2×1.19699429471373-π/2
    2.39398858942747-1.57079632675     		φ = 0.82319226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31786958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.212585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82319226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.165442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58905 KachelY 46013 -0.31786958 0.82319226 -18.212585 47.165442
    Oben rechts KachelX + 1 58906 KachelY 46013 -0.31782164 0.82319226 -18.209839 47.165442
    Unten links KachelX 58905 KachelY + 1 46014 -0.31786958 0.82315967 -18.212585 47.163575
    Unten rechts KachelX + 1 58906 KachelY + 1 46014 -0.31782164 0.82315967 -18.209839 47.163575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82319226-0.82315967) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82319226-0.82315967) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31786958--0.31782164) × cos(0.82319226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679883727572525 × 6371000     		do = 207.653990607661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31786958--0.31782164) × cos(0.82315967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679907626107923 × 6371000     		du = 207.661289835519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82319226)-sin(0.82315967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679883727572525-0.679907626107923)×R²
    abs(-0.31782164--0.31786958)×2.38985353983034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38985353983034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38985353983034e-05×40589641000000     		ar = 43116.1406582924m²