Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58905 / 30110
↖ ↑ ↗
← N 69.258095°
W 18.212585°		 ← 108.17 m → N 69.258095°
W 18.209839°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
N 69.257122°
W 18.212585°		 ← 108.17 m →
11 702 m²		 N 69.257122°
W 18.209839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449413299560547 y=0.229724884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449413299560547 × 217)
    floor (0.449413299560547 × 131072)
    floor (58905.5)     		tx = 58905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229724884033203 × 217)
    floor (0.229724884033203 × 131072)
    floor (30110.5)     		ty = 30110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58905 / 30110 ti = "17/58905/30110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58905/30110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58905 ÷ 217
    58905 ÷ 131072     		x = 0.449409484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30110 ÷ 217
    30110 ÷ 131072     		y = 0.229721069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449409484863281 × 2 - 1) × π
    -0.101181030273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.31786958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229721069335938 × 2 - 1) × π
    0.540557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69821260594011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31786958} λ = -0.31786958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69821260594011))-π/2
    2×atan(5.46417202948978)-π/2
    2×1.38978905710164-π/2
    2.77957811420329-1.57079632675     		φ = 1.20878179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31786958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.212585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20878179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.258095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58905 KachelY 30110 -0.31786958 1.20878179 -18.212585 69.258095
    Oben rechts KachelX + 1 58906 KachelY 30110 -0.31782164 1.20878179 -18.209839 69.258095
    Unten links KachelX 58905 KachelY + 1 30111 -0.31786958 1.20876481 -18.212585 69.257122
    Unten rechts KachelX + 1 58906 KachelY + 1 30111 -0.31782164 1.20876481 -18.209839 69.257122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20878179-1.20876481) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dl = 108.179580000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20878179-1.20876481) × R
    1.69800000000553e-05 × 6371000     		dr = 108.179580000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31786958--0.31782164) × cos(1.20878179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354158915760023 × 6371000     		do = 108.169248923532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31786958--0.31782164) × cos(1.20876481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354174795154608 × 6371000     		du = 108.174098899374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20878179)-sin(1.20876481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354158915760023-0.354174795154608)×R²
    abs(-0.31782164--0.31786958)×1.58793945846392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58793945846392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58793945846392e-05×40589641000000     		ar = 11701.9662520129m²