Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58904 / 40440
↖ ↑ ↗
← N 56.571589°
W 18.215332°		 ← 168.26 m → N 56.571589°
W 18.212585°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 56.570076°
W 18.215332°		 ← 168.26 m →
28 311 m²		 N 56.570076°
W 18.212585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449405670166016 y=0.308536529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449405670166016 × 217)
    floor (0.449405670166016 × 131072)
    floor (58904.5)     		tx = 58904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308536529541016 × 217)
    floor (0.308536529541016 × 131072)
    floor (40440.5)     		ty = 40440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58904 / 40440 ti = "17/58904/40440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58904/40440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58904 ÷ 217
    58904 ÷ 131072     		x = 0.44940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40440 ÷ 217
    40440 ÷ 131072     		y = 0.30853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44940185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31791752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30853271484375 × 2 - 1) × π
    0.3829345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20302443286493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31791752} λ = -0.31791752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20302443286493))-π/2
    2×atan(3.33017359367026)-π/2
    2×1.27907840930103-π/2
    2.55815681860206-1.57079632675     		φ = 0.98736049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31791752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.215332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98736049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.571589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58904 KachelY 40440 -0.31791752 0.98736049 -18.215332 56.571589
    Oben rechts KachelX + 1 58905 KachelY 40440 -0.31786958 0.98736049 -18.212585 56.571589
    Unten links KachelX 58904 KachelY + 1 40441 -0.31791752 0.98733408 -18.215332 56.570076
    Unten rechts KachelX + 1 58905 KachelY + 1 40441 -0.31786958 0.98733408 -18.212585 56.570076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98736049-0.98733408) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dl = 168.258110000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98736049-0.98733408) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dr = 168.258110000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31791752--0.31786958) × cos(0.98736049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550894645586417 × 6371000     		do = 168.257404790354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31791752--0.31786958) × cos(0.98733408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550916686514645 × 6371000     		du = 168.264136657168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98736049)-sin(0.98733408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550894645586417-0.550916686514645)×R²
    abs(-0.31786958--0.31791752)×2.20409282283285e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20409282283285e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20409282283285e-05×40589641000000     		ar = 28311.2392709215m²