Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58903 / 46175
↖ ↑ ↗
← N 46.862069°
W 18.218079°		 ← 208.84 m → N 46.862069°
W 18.215332°		 →
↑
208.84 m
↓
↑
208.84 m
↓
N 46.860191°
W 18.218079°		 ← 208.84 m →
43 615 m²		 N 46.860191°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449398040771484 y=0.352291107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449398040771484 × 217)
    floor (0.449398040771484 × 131072)
    floor (58903.5)     		tx = 58903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352291107177734 × 217)
    floor (0.352291107177734 × 131072)
    floor (46175.5)     		ty = 46175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58903 / 46175 ti = "17/58903/46175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58903/46175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58903 ÷ 217
    58903 ÷ 131072     		x = 0.449394226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46175 ÷ 217
    46175 ÷ 131072     		y = 0.352287292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449394226074219 × 2 - 1) × π
    -0.101211547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31796546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352287292480469 × 2 - 1) × π
    0.295425415039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.928106313543907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31796546} λ = -0.31796546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928106313543907))-π/2
    2×atan(2.52971415348442)-π/2
    2×1.19434686293895-π/2
    2.38869372587791-1.57079632675     		φ = 0.81789740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31796546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.218079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81789740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.862069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58903 KachelY 46175 -0.31796546 0.81789740 -18.218079 46.862069
    Oben rechts KachelX + 1 58904 KachelY 46175 -0.31791752 0.81789740 -18.215332 46.862069
    Unten links KachelX 58903 KachelY + 1 46176 -0.31796546 0.81786462 -18.218079 46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 58904 KachelY + 1 46176 -0.31791752 0.81786462 -18.215332 46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81789740-0.81786462) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dl = 208.84137999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81789740-0.81786462) × R
    3.27799999999545e-05 × 6371000     		dr = 208.84137999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(0.81789740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683757005352037 × 6371000     		do = 208.836989339693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(0.81786462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 208.844294976516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81789740)-sin(0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683757005352037-0.683780924871142)×R²
    abs(-0.31791752--0.31796546)×2.39195191047425e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39195191047425e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39195191047425e-05×40589641000000     		ar = 43614.5679122528m²