Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58903 / 46101
↖ ↑ ↗
← N 47.000861°
W 18.218079°		 ← 208.30 m → N 47.000861°
W 18.215332°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
N 46.998988°
W 18.218079°		 ← 208.30 m →
43 382 m²		 N 46.998988°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449398040771484 y=0.351726531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449398040771484 × 217)
    floor (0.449398040771484 × 131072)
    floor (58903.5)     		tx = 58903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351726531982422 × 217)
    floor (0.351726531982422 × 131072)
    floor (46101.5)     		ty = 46101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58903 / 46101 ti = "17/58903/46101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58903/46101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58903 ÷ 217
    58903 ÷ 131072     		x = 0.449394226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46101 ÷ 217
    46101 ÷ 131072     		y = 0.351722717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449394226074219 × 2 - 1) × π
    -0.101211547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31796546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351722717285156 × 2 - 1) × π
    0.296554565429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.931653644115791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31796546} λ = -0.31796546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931653644115791))-π/2
    2×atan(2.53870382107371)-π/2
    2×1.19555804954997-π/2
    2.39111609909994-1.57079632675     		φ = 0.82031977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31796546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.218079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82031977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.000861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58903 KachelY 46101 -0.31796546 0.82031977 -18.218079 47.000861
    Oben rechts KachelX + 1 58904 KachelY 46101 -0.31791752 0.82031977 -18.215332 47.000861
    Unten links KachelX 58903 KachelY + 1 46102 -0.31796546 0.82028708 -18.218079 46.998988
    Unten rechts KachelX + 1 58904 KachelY + 1 46102 -0.31791752 0.82028708 -18.215332 46.998988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82031977-0.82028708) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dl = 208.267990000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82031977-0.82028708) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dr = 208.267990000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(0.82031977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681987373910094 × 6371000     		do = 208.296498347011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(0.82028708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682011281833094 × 6371000     		du = 208.303800442085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82031977)-sin(0.82028708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681987373910094-0.682011281833094)×R²
    abs(-0.31791752--0.31796546)×2.39079229994443e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39079229994443e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39079229994443e-05×40589641000000     		ar = 43382.2534350591m²