Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58903 / 46100
↖ ↑ ↗
← N 47.002734°
W 18.218079°		 ← 208.29 m → N 47.002734°
W 18.215332°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
N 47.000861°
W 18.218079°		 ← 208.30 m →
43 381 m²		 N 47.000861°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449398040771484 y=0.351718902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449398040771484 × 217)
    floor (0.449398040771484 × 131072)
    floor (58903.5)     		tx = 58903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351718902587891 × 217)
    floor (0.351718902587891 × 131072)
    floor (46100.5)     		ty = 46100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58903 / 46100 ti = "17/58903/46100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58903/46100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58903 ÷ 217
    58903 ÷ 131072     		x = 0.449394226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46100 ÷ 217
    46100 ÷ 131072     		y = 0.351715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449394226074219 × 2 - 1) × π
    -0.101211547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31796546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351715087890625 × 2 - 1) × π
    0.29656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931701581015411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31796546} λ = -0.31796546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931701581015411))-π/2
    2×atan(2.53882552158089)-π/2
    2×1.19557439544353-π/2
    2.39114879088706-1.57079632675     		φ = 0.82035246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31796546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.218079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82035246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.002734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58903 KachelY 46100 -0.31796546 0.82035246 -18.218079 47.002734
    Oben rechts KachelX + 1 58904 KachelY 46100 -0.31791752 0.82035246 -18.215332 47.002734
    Unten links KachelX 58903 KachelY + 1 46101 -0.31796546 0.82031977 -18.218079 47.000861
    Unten rechts KachelX + 1 58904 KachelY + 1 46101 -0.31791752 0.82031977 -18.215332 47.000861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82035246-0.82031977) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dl = 208.267989999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82035246-0.82031977) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dr = 208.267989999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(0.82035246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681963465258298 × 6371000     		do = 208.289196029343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(0.82031977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681987373910094 × 6371000     		du = 208.296498347011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82035246)-sin(0.82031977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681963465258298-0.681987373910094)×R²
    abs(-0.31791752--0.31796546)×2.39086517956899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39086517956899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39086517956899e-05×40589641000000     		ar = 43380.7326191938m²