Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58903 / 45293
↖ ↑ ↗
← N 48.492948°
W 18.218079°		 ← 202.41 m → N 48.492948°
W 18.215332°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
N 48.491127°
W 18.218079°		 ← 202.42 m →
40 970 m²		 N 48.491127°
W 18.215332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449398040771484 y=0.345561981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449398040771484 × 217)
    floor (0.449398040771484 × 131072)
    floor (58903.5)     		tx = 58903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345561981201172 × 217)
    floor (0.345561981201172 × 131072)
    floor (45293.5)     		ty = 45293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58903 / 45293 ti = "17/58903/45293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58903/45293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58903 ÷ 217
    58903 ÷ 131072     		x = 0.449394226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45293 ÷ 217
    45293 ÷ 131072     		y = 0.345558166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449394226074219 × 2 - 1) × π
    -0.101211547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31796546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345558166503906 × 2 - 1) × π
    0.308883666992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.970386659008797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31796546} λ = -0.31796546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970386659008797))-π/2
    2×atan(2.63896464156268)-π/2
    2×1.20857896105411-π/2
    2.41715792210822-1.57079632675     		φ = 0.84636160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31796546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.218079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84636160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.492948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58903 KachelY 45293 -0.31796546 0.84636160 -18.218079 48.492948
    Oben rechts KachelX + 1 58904 KachelY 45293 -0.31791752 0.84636160 -18.215332 48.492948
    Unten links KachelX 58903 KachelY + 1 45294 -0.31796546 0.84632983 -18.218079 48.491127
    Unten rechts KachelX + 1 58904 KachelY + 1 45294 -0.31791752 0.84632983 -18.215332 48.491127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84636160-0.84632983) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dl = 202.406670000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84636160-0.84632983) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dr = 202.406670000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(0.84636160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66271223007152 × 6371000     		do = 202.409373276511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31796546--0.31791752) × cos(0.84632983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662736021468973 × 6371000     		du = 202.416639781684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84636160)-sin(0.84632983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66271223007152-0.662736021468973)×R²
    abs(-0.31791752--0.31796546)×2.37913974535653e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37913974535653e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37913974535653e-05×40589641000000     		ar = 40969.7426199862m²