Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58902 / 40441
↖ ↑ ↗
← N 56.570076°
W 18.220825°		 ← 168.23 m → N 56.570076°
W 18.218079°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 56.568563°
W 18.220825°		 ← 168.24 m →
28 306 m²		 N 56.568563°
W 18.218079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449390411376953 y=0.308544158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449390411376953 × 217)
    floor (0.449390411376953 × 131072)
    floor (58902.5)     		tx = 58902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308544158935547 × 217)
    floor (0.308544158935547 × 131072)
    floor (40441.5)     		ty = 40441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58902 / 40441 ti = "17/58902/40441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58902/40441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58902 ÷ 217
    58902 ÷ 131072     		x = 0.449386596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40441 ÷ 217
    40441 ÷ 131072     		y = 0.308540344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449386596679688 × 2 - 1) × π
    -0.101226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31801339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308540344238281 × 2 - 1) × π
    0.382919311523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.20297649596531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31801339} λ = -0.31801339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20297649596531))-π/2
    2×atan(3.3300139592992)-π/2
    2×1.27906520494627-π/2
    2.55813040989255-1.57079632675     		φ = 0.98733408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31801339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.220825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98733408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.570076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58902 KachelY 40441 -0.31801339 0.98733408 -18.220825 56.570076
    Oben rechts KachelX + 1 58903 KachelY 40441 -0.31796546 0.98733408 -18.218079 56.570076
    Unten links KachelX 58902 KachelY + 1 40442 -0.31801339 0.98730767 -18.220825 56.568563
    Unten rechts KachelX + 1 58903 KachelY + 1 40442 -0.31796546 0.98730767 -18.218079 56.568563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98733408-0.98730767) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dl = 168.258110000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98733408-0.98730767) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dr = 168.258110000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31801339--0.31796546) × cos(0.98733408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550916686514645 × 6371000     		do = 168.229037755089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31801339--0.31796546) × cos(0.98730767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550938727058616 × 6371000     		du = 168.235768100338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98733408)-sin(0.98730767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550916686514645-0.550938727058616)×R²
    abs(-0.31796546--0.31801339)×2.20405439703697e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20405439703697e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20405439703697e-05×40589641000000     		ar = 28306.4661589099m²