Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58902 / 30100
↖ ↑ ↗
← N 69.267820°
W 18.220825°		 ← 108.10 m → N 69.267820°
W 18.218079°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 69.266847°
W 18.220825°		 ← 108.10 m →
11 687 m²		 N 69.266847°
W 18.218079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449390411376953 y=0.229648590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449390411376953 × 217)
    floor (0.449390411376953 × 131072)
    floor (58902.5)     		tx = 58902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229648590087891 × 217)
    floor (0.229648590087891 × 131072)
    floor (30100.5)     		ty = 30100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58902 / 30100 ti = "17/58902/30100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58902/30100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58902 ÷ 217
    58902 ÷ 131072     		x = 0.449386596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30100 ÷ 217
    30100 ÷ 131072     		y = 0.229644775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449386596679688 × 2 - 1) × π
    -0.101226806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31801339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229644775390625 × 2 - 1) × π
    0.54071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69869197493631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31801339} λ = -0.31801339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69869197493631))-π/2
    2×atan(5.46679201206966)-π/2
    2×1.38987392447939-π/2
    2.77974784895879-1.57079632675     		φ = 1.20895152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31801339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.220825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20895152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.267820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58902 KachelY 30100 -0.31801339 1.20895152 -18.220825 69.267820
    Oben rechts KachelX + 1 58903 KachelY 30100 -0.31796546 1.20895152 -18.218079 69.267820
    Unten links KachelX 58902 KachelY + 1 30101 -0.31801339 1.20893455 -18.220825 69.266847
    Unten rechts KachelX + 1 58903 KachelY + 1 30101 -0.31796546 1.20893455 -18.218079 69.266847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20895152-1.20893455) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20895152-1.20893455) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31801339--0.31796546) × cos(1.20895152) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35400018166599 × 6371000     		do = 108.098214093962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31801339--0.31796546) × cos(1.20893455) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354016052728667 × 6371000     		du = 108.103060513879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20895152)-sin(1.20893455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35400018166599-0.354016052728667)×R²
    abs(-0.31796546--0.31801339)×1.58710626768643e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58710626768643e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58710626768643e-05×40589641000000     		ar = 11687.3944500603m²