Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58901 / 40442
↖ ↑ ↗
← N 56.568563°
W 18.223572°		 ← 168.27 m → N 56.568563°
W 18.220825°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 56.567049°
W 18.223572°		 ← 168.28 m →
28 314 m²		 N 56.567049°
W 18.220825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449382781982422 y=0.308551788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449382781982422 × 217)
    floor (0.449382781982422 × 131072)
    floor (58901.5)     		tx = 58901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308551788330078 × 217)
    floor (0.308551788330078 × 131072)
    floor (40442.5)     		ty = 40442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58901 / 40442 ti = "17/58901/40442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58901/40442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58901 ÷ 217
    58901 ÷ 131072     		x = 0.449378967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40442 ÷ 217
    40442 ÷ 131072     		y = 0.308547973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449378967285156 × 2 - 1) × π
    -0.101242065429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31806133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308547973632812 × 2 - 1) × π
    0.382904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20292855906569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31806133} λ = -0.31806133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20292855906569))-π/2
    2×atan(3.32985433258034)-π/2
    2×1.27905200006325-π/2
    2.5581040001265-1.57079632675     		φ = 0.98730767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31806133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.223572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98730767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.568563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58901 KachelY 40442 -0.31806133 0.98730767 -18.223572 56.568563
    Oben rechts KachelX + 1 58902 KachelY 40442 -0.31801339 0.98730767 -18.220825 56.568563
    Unten links KachelX 58901 KachelY + 1 40443 -0.31806133 0.98728126 -18.223572 56.567049
    Unten rechts KachelX + 1 58902 KachelY + 1 40443 -0.31801339 0.98728126 -18.220825 56.567049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98730767-0.98728126) × R
    2.64099999999212e-05 × 6371000     		dl = 168.258109999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98730767-0.98728126) × R
    2.64099999999212e-05 × 6371000     		dr = 168.258109999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31806133--0.31801339) × cos(0.98730767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.550938727058616 × 6371000     		do = 168.270868406425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31806133--0.31801339) × cos(0.98728126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.550960767218313 × 6371000     		du = 168.277600038511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98730767)-sin(0.98728126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550938727058616-0.550960767218313)×R²
    abs(-0.31801339--0.31806133)×2.20401596970898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20401596970898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20401596970898e-05×40589641000000     		ar = 28313.5046135454m²