Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5890 / 6918
↖ ↑ ↗
← N 26.941660°
W 50.581054°		 ← 2 178.05 m → N 26.941660°
W 50.559082°		 →
↑
2 178.31 m
↓
↑
2 178.31 m
↓
N 26.922070°
W 50.581054°		 ← 2 178.43 m →
4 744 874 m²		 N 26.922070°
W 50.559082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359527587890625 y=0.422271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359527587890625 × 214)
    floor (0.359527587890625 × 16384)
    floor (5890.5)     		tx = 5890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422271728515625 × 214)
    floor (0.422271728515625 × 16384)
    floor (6918.5)     		ty = 6918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5890 / 6918 ti = "14/5890/6918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5890/6918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5890 ÷ 214
    5890 ÷ 16384     		x = 0.3594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6918 ÷ 214
    6918 ÷ 16384     		y = 0.4222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.281005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88280594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4222412109375 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.488572880927612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88280594} λ = -0.88280594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488572880927612))-π/2
    2×atan(1.62998837179905)-π/2
    2×1.02050849590036-π/2
    2.04101699180071-1.57079632675     		φ = 0.47022067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88280594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.581054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47022067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.941660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5890 KachelY 6918 -0.88280594 0.47022067 -50.581054 26.941660
    Oben rechts KachelX + 1 5891 KachelY 6918 -0.88242245 0.47022067 -50.559082 26.941660
    Unten links KachelX 5890 KachelY + 1 6919 -0.88280594 0.46987876 -50.581054 26.922070
    Unten rechts KachelX + 1 5891 KachelY + 1 6919 -0.88242245 0.46987876 -50.559082 26.922070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47022067-0.46987876) × R
    0.000341910000000001 × 6371000     		dl = 2178.30861000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47022067-0.46987876) × R
    0.000341910000000001 × 6371000     		dr = 2178.30861000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88280594--0.88242245) × cos(0.47022067) × R
    0.000383490000000042 × 0.891468328071976 × 6371000     		do = 2178.04860396226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88280594--0.88242245) × cos(0.46987876) × R
    0.000383490000000042 × 0.891623189575791 × 6371000     		du = 2178.42696387879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47022067)-sin(0.46987876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891468328071976-0.891623189575791)×R²
    abs(-0.88242245--0.88280594)×0.000154861503815718×R²
    0.000383490000000042×0.000154861503815718×6371000²
    0.000383490000000042×0.000154861503815718×40589641000000     		ar = 4744874.16556484m²