Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 589 / 451
↖ ↑ ↗
← N 20.961440°
E 27.070312°		 ← 36.505 km → N 20.961440°
E 27.421875°		 →
↑
36.545 km
↓
↑
36.545 km
↓
N 20.632784°
E 27.070312°		 ← 36.585 km →
1 335.53 km²		 N 20.632784°
E 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57568359375 y=0.44091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57568359375 × 210)
    floor (0.57568359375 × 1024)
    floor (589.5)     		tx = 589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44091796875 × 210)
    floor (0.44091796875 × 1024)
    floor (451.5)     		ty = 451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 589 / 451 ti = "10/589/451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/589/451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 589 ÷ 210
    589 ÷ 1024     		x = 0.5751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 451 ÷ 210
    451 ÷ 1024     		y = 0.4404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.374291312233398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47246608} λ = 0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374291312233398))-π/2
    2×atan(1.4539606452921)-π/2
    2×0.968321232004433-π/2
    1.93664246400887-1.57079632675     		φ = 0.36584614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36584614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.961440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 589 KachelY 451 0.47246608 0.36584614 27.070312 20.961440
    Oben rechts KachelX + 1 590 KachelY 451 0.47860201 0.36584614 27.421875 20.961440
    Unten links KachelX 589 KachelY + 1 452 0.47246608 0.36011002 27.070312 20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 590 KachelY + 1 452 0.47860201 0.36011002 27.421875 20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36584614-0.36011002) × R
    0.00573612000000001 × 6371000     		dl = 36544.8205200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36584614-0.36011002) × R
    0.00573612000000001 × 6371000     		dr = 36544.8205200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47246608-0.47860201) × cos(0.36584614) × R
    0.00613593000000001 × 0.933821397730396 × 6371000     		do = 36504.9554463053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47246608-0.47860201) × cos(0.36011002) × R
    0.00613593000000001 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 36584.572699553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36584614)-sin(0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933821397730396-0.935858060802633)×R²
    abs(0.47860201-0.47246608)×0.00203666307223682×R²
    0.00613593000000001×0.00203666307223682×6371000²
    0.00613593000000001×0.00203666307223682×40589641000000     		ar = 1335525505.90068m²