Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58899 / 46219
↖ ↑ ↗
← N 46.779374°
W 18.229065°		 ← 209.11 m → N 46.779374°
W 18.226319°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 46.777493°
W 18.229065°		 ← 209.12 m →
43 739 m²		 N 46.777493°
W 18.226319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449367523193359 y=0.352626800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449367523193359 × 217)
    floor (0.449367523193359 × 131072)
    floor (58899.5)     		tx = 58899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352626800537109 × 217)
    floor (0.352626800537109 × 131072)
    floor (46219.5)     		ty = 46219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58899 / 46219 ti = "17/58899/46219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58899/46219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58899 ÷ 217
    58899 ÷ 131072     		x = 0.449363708496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46219 ÷ 217
    46219 ÷ 131072     		y = 0.352622985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449363708496094 × 2 - 1) × π
    -0.101272583007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31815720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352622985839844 × 2 - 1) × π
    0.294754028320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.925997089960625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31815720} λ = -0.31815720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925997089960625))-π/2
    2×atan(2.5243840439054)-π/2
    2×1.19362520977471-π/2
    2.38725041954943-1.57079632675     		φ = 0.81645409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31815720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.229065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81645409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.779374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58899 KachelY 46219 -0.31815720 0.81645409 -18.229065 46.779374
    Oben rechts KachelX + 1 58900 KachelY 46219 -0.31810927 0.81645409 -18.226319 46.779374
    Unten links KachelX 58899 KachelY + 1 46220 -0.31815720 0.81642126 -18.229065 46.777493
    Unten rechts KachelX + 1 58900 KachelY + 1 46220 -0.31810927 0.81642126 -18.226319 46.777493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81645409-0.81642126) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81645409-0.81642126) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31815720--0.31810927) × cos(0.81645409) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.684809490221668 × 6371000     		do = 209.114816097239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31815720--0.31810927) × cos(0.81642126) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68483341380058 × 6371000     		du = 209.122121449861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81645409)-sin(0.81642126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684809490221668-0.68483341380058)×R²
    abs(-0.31810927--0.31815720)×2.39235789126768e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39235789126768e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39235789126768e-05×40589641000000     		ar = 43739.204294305m²