Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58898 / 46220
↖ ↑ ↗
← N 46.777493°
W 18.231812°		 ← 209.17 m → N 46.777493°
W 18.229065°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
N 46.775612°
W 18.231812°		 ← 209.17 m →
43 737 m²		 N 46.775612°
W 18.229065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449359893798828 y=0.352634429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449359893798828 × 217)
    floor (0.449359893798828 × 131072)
    floor (58898.5)     		tx = 58898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352634429931641 × 217)
    floor (0.352634429931641 × 131072)
    floor (46220.5)     		ty = 46220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58898 / 46220 ti = "17/58898/46220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58898/46220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58898 ÷ 217
    58898 ÷ 131072     		x = 0.449356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46220 ÷ 217
    46220 ÷ 131072     		y = 0.352630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449356079101562 × 2 - 1) × π
    -0.101287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31820514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352630615234375 × 2 - 1) × π
    0.29473876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.925949153061005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31820514} λ = -0.31820514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925949153061005))-π/2
    2×atan(2.52426303566129)-π/2
    2×1.19360879566618-π/2
    2.38721759133235-1.57079632675     		φ = 0.81642126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31820514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.231812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81642126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.777493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58898 KachelY 46220 -0.31820514 0.81642126 -18.231812 46.777493
    Oben rechts KachelX + 1 58899 KachelY 46220 -0.31815720 0.81642126 -18.229065 46.777493
    Unten links KachelX 58898 KachelY + 1 46221 -0.31820514 0.81638844 -18.231812 46.775612
    Unten rechts KachelX + 1 58899 KachelY + 1 46221 -0.31815720 0.81638844 -18.229065 46.775612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81642126-0.81638844) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dl = 209.096220000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81642126-0.81638844) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dr = 209.096220000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31820514--0.31815720) × cos(0.81642126) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68483341380058 × 6371000     		do = 209.165752186874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31820514--0.31815720) × cos(0.81638844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684857329354602 × 6371000     		du = 209.173056612658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81642126)-sin(0.81638844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68483341380058-0.684857329354602)×R²
    abs(-0.31815720--0.31820514)×2.39155540212588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39155540212588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39155540212588e-05×40589641000000     		ar = 43736.5318036678m²