Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58898 / 46103
↖ ↑ ↗
← N 46.997115°
W 18.231812°		 ← 208.31 m → N 46.997115°
W 18.229065°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 46.995241°
W 18.231812°		 ← 208.32 m →
43 399 m²		 N 46.995241°
W 18.229065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449359893798828 y=0.351741790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449359893798828 × 217)
    floor (0.449359893798828 × 131072)
    floor (58898.5)     		tx = 58898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351741790771484 × 217)
    floor (0.351741790771484 × 131072)
    floor (46103.5)     		ty = 46103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58898 / 46103 ti = "17/58898/46103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58898/46103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58898 ÷ 217
    58898 ÷ 131072     		x = 0.449356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46103 ÷ 217
    46103 ÷ 131072     		y = 0.351737976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449356079101562 × 2 - 1) × π
    -0.101287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31820514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351737976074219 × 2 - 1) × π
    0.296524047851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.931557770316551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31820514} λ = -0.31820514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931557770316551))-π/2
    2×atan(2.53846043756047)-π/2
    2×1.19552535604359-π/2
    2.39105071208718-1.57079632675     		φ = 0.82025439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31820514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.231812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82025439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.997115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58898 KachelY 46103 -0.31820514 0.82025439 -18.231812 46.997115
    Oben rechts KachelX + 1 58899 KachelY 46103 -0.31815720 0.82025439 -18.229065 46.997115
    Unten links KachelX 58898 KachelY + 1 46104 -0.31820514 0.82022169 -18.231812 46.995241
    Unten rechts KachelX + 1 58899 KachelY + 1 46104 -0.31815720 0.82022169 -18.229065 46.995241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82025439-0.82022169) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82025439-0.82022169) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31820514--0.31815720) × cos(0.82025439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682035189027271 × 6371000     		do = 208.311102314799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31820514--0.31815720) × cos(0.82022169) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682059102805572 × 6371000     		du = 208.318406198232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82025439)-sin(0.82022169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682035189027271-0.682059102805572)×R²
    abs(-0.31815720--0.31820514)×2.39137783006882e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39137783006882e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39137783006882e-05×40589641000000     		ar = 43398.5668932806m²