Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58898 / 39453
↖ ↑ ↗
← N 58.035734°
W 18.231812°		 ← 161.69 m → N 58.035734°
W 18.229065°		 →
↑
161.63 m
↓
↑
161.63 m
↓
N 58.034281°
W 18.231812°		 ← 161.70 m →
26 135 m²		 N 58.034281°
W 18.229065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449359893798828 y=0.301006317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449359893798828 × 217)
    floor (0.449359893798828 × 131072)
    floor (58898.5)     		tx = 58898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301006317138672 × 217)
    floor (0.301006317138672 × 131072)
    floor (39453.5)     		ty = 39453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58898 / 39453 ti = "17/58898/39453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58898/39453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58898 ÷ 217
    58898 ÷ 131072     		x = 0.449356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39453 ÷ 217
    39453 ÷ 131072     		y = 0.301002502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449356079101562 × 2 - 1) × π
    -0.101287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31820514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301002502441406 × 2 - 1) × π
    0.397994995117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.25033815278992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31820514} λ = -0.31820514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25033815278992))-π/2
    2×atan(3.49152342624886)-π/2
    2×1.29185549080612-π/2
    2.58371098161225-1.57079632675     		φ = 1.01291465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31820514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.231812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01291465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.035734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58898 KachelY 39453 -0.31820514 1.01291465 -18.231812 58.035734
    Oben rechts KachelX + 1 58899 KachelY 39453 -0.31815720 1.01291465 -18.229065 58.035734
    Unten links KachelX 58898 KachelY + 1 39454 -0.31820514 1.01288928 -18.231812 58.034281
    Unten rechts KachelX + 1 58899 KachelY + 1 39454 -0.31815720 1.01288928 -18.229065 58.034281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01291465-1.01288928) × R
    2.53699999999135e-05 × 6371000     		dl = 161.632269999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01291465-1.01288928) × R
    2.53699999999135e-05 × 6371000     		dr = 161.632269999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31820514--0.31815720) × cos(1.01291465) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529390247307189 × 6371000     		do = 161.689408032662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31820514--0.31815720) × cos(1.01288928) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529411770497671 × 6371000     		du = 161.695981769043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01291465)-sin(1.01288928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529390247307189-0.529411770497671)×R²
    abs(-0.31815720--0.31820514)×2.15231904824309e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15231904824309e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15231904824309e-05×40589641000000     		ar = 26134.7573205211m²