Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58897 / 31090
↖ ↑ ↗
← N 68.283619°
W 18.234558°		 ← 113.01 m → N 68.283619°
W 18.231812°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
N 68.282603°
W 18.234558°		 ← 113.02 m →
12 773 m²		 N 68.282603°
W 18.231812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449352264404297 y=0.237201690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449352264404297 × 217)
    floor (0.449352264404297 × 131072)
    floor (58897.5)     		tx = 58897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237201690673828 × 217)
    floor (0.237201690673828 × 131072)
    floor (31090.5)     		ty = 31090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58897 / 31090 ti = "17/58897/31090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58897/31090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58897 ÷ 217
    58897 ÷ 131072     		x = 0.449348449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31090 ÷ 217
    31090 ÷ 131072     		y = 0.237197875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449348449707031 × 2 - 1) × π
    -0.101303100585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31825308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237197875976562 × 2 - 1) × π
    0.525604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65123444431245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31825308} λ = -0.31825308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65123444431245))-π/2
    2×atan(5.21341152278086)-π/2
    2×1.3812851518556-π/2
    2.7625703037112-1.57079632675     		φ = 1.19177398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31825308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.234558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19177398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.283619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58897 KachelY 31090 -0.31825308 1.19177398 -18.234558 68.283619
    Oben rechts KachelX + 1 58898 KachelY 31090 -0.31820514 1.19177398 -18.231812 68.283619
    Unten links KachelX 58897 KachelY + 1 31091 -0.31825308 1.19175624 -18.234558 68.282603
    Unten rechts KachelX + 1 58898 KachelY + 1 31091 -0.31820514 1.19175624 -18.231812 68.282603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19177398-1.19175624) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19177398-1.19175624) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31825308--0.31820514) × cos(1.19177398) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.370012380336224 × 6371000     		do = 113.01130507341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31825308--0.31820514) × cos(1.19175624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.370028861213846 × 6371000     		du = 113.016338757653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19177398)-sin(1.19175624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370012380336224-0.370028861213846)×R²
    abs(-0.31820514--0.31825308)×1.64808776215719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64808776215719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64808776215719e-05×40589641000000     		ar = 12772.9961946568m²