Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58896 / 44943
↖ ↑ ↗
← N 49.126017°
W 18.237304°		 ← 199.83 m → N 49.126017°
W 18.234558°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
N 49.124219°
W 18.237304°		 ← 199.84 m →
39 938 m²		 N 49.124219°
W 18.234558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449344635009766 y=0.342891693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449344635009766 × 217)
    floor (0.449344635009766 × 131072)
    floor (58896.5)     		tx = 58896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342891693115234 × 217)
    floor (0.342891693115234 × 131072)
    floor (44943.5)     		ty = 44943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58896 / 44943 ti = "17/58896/44943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58896/44943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58896 ÷ 217
    58896 ÷ 131072     		x = 0.4493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44943 ÷ 217
    44943 ÷ 131072     		y = 0.342887878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31830101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342887878417969 × 2 - 1) × π
    0.314224243164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.987164573875816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31830101} λ = -0.31830101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987164573875816))-π/2
    2×atan(2.68361448388241)-π/2
    2×1.21410353274662-π/2
    2.42820706549324-1.57079632675     		φ = 0.85741074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31830101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.237304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85741074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.126017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58896 KachelY 44943 -0.31830101 0.85741074 -18.237304 49.126017
    Oben rechts KachelX + 1 58897 KachelY 44943 -0.31825308 0.85741074 -18.234558 49.126017
    Unten links KachelX 58896 KachelY + 1 44944 -0.31830101 0.85737937 -18.237304 49.124219
    Unten rechts KachelX + 1 58897 KachelY + 1 44944 -0.31825308 0.85737937 -18.234558 49.124219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85741074-0.85737937) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dl = 199.858269999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85741074-0.85737937) × R
    3.1369999999975e-05 × 6371000     		dr = 199.858269999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31830101--0.31825308) × cos(0.85741074) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654397530349493 × 6371000     		do = 199.828158294399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31830101--0.31825308) × cos(0.85737937) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654421250474776 × 6371000     		du = 199.835401520007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85741074)-sin(0.85737937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654397530349493-0.654421250474776)×R²
    abs(-0.31825308--0.31830101)×2.37201252829555e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37201252829555e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37201252829555e-05×40589641000000     		ar = 39938.0338264442m²