Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58895 / 44945
↖ ↑ ↗
← N 49.122422°
W 18.240051°		 ← 199.88 m → N 49.122422°
W 18.237304°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 49.120624°
W 18.240051°		 ← 199.89 m →
39 962 m²		 N 49.120624°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449337005615234 y=0.342906951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449337005615234 × 217)
    floor (0.449337005615234 × 131072)
    floor (58895.5)     		tx = 58895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342906951904297 × 217)
    floor (0.342906951904297 × 131072)
    floor (44945.5)     		ty = 44945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58895 / 44945 ti = "17/58895/44945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58895/44945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58895 ÷ 217
    58895 ÷ 131072     		x = 0.449333190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44945 ÷ 217
    44945 ÷ 131072     		y = 0.342903137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449333190917969 × 2 - 1) × π
    -0.101333618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31834895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342903137207031 × 2 - 1) × π
    0.314193725585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.987068700076576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31834895} λ = -0.31834895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987068700076576))-π/2
    2×atan(2.68335720789935)-π/2
    2×1.21407216182076-π/2
    2.42814432364153-1.57079632675     		φ = 0.85734800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31834895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.240051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85734800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.122422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58895 KachelY 44945 -0.31834895 0.85734800 -18.240051 49.122422
    Oben rechts KachelX + 1 58896 KachelY 44945 -0.31830101 0.85734800 -18.237304 49.122422
    Unten links KachelX 58895 KachelY + 1 44946 -0.31834895 0.85731662 -18.240051 49.120624
    Unten rechts KachelX + 1 58896 KachelY + 1 44946 -0.31830101 0.85731662 -18.237304 49.120624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85734800-0.85731662) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85734800-0.85731662) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31834895--0.31830101) × cos(0.85734800) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.654444969956058 × 6371000     		do = 199.884339238207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31834895--0.31830101) × cos(0.85731662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.654468696354208 × 6371000     		du = 199.89158589092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85734800)-sin(0.85731662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654444969956058-0.654468696354208)×R²
    abs(-0.31830101--0.31834895)×2.3726398149071e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3726398149071e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3726398149071e-05×40589641000000     		ar = 39961.9972574323m²