Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58895 / 39439
↖ ↑ ↗
← N 58.056085°
W 18.240051°		 ← 161.60 m → N 58.056085°
W 18.237304°		 →
↑
161.63 m
↓
↑
161.63 m
↓
N 58.054632°
W 18.240051°		 ← 161.60 m →
26 120 m²		 N 58.054632°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449337005615234 y=0.300899505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449337005615234 × 217)
    floor (0.449337005615234 × 131072)
    floor (58895.5)     		tx = 58895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300899505615234 × 217)
    floor (0.300899505615234 × 131072)
    floor (39439.5)     		ty = 39439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58895 / 39439 ti = "17/58895/39439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58895/39439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58895 ÷ 217
    58895 ÷ 131072     		x = 0.449333190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39439 ÷ 217
    39439 ÷ 131072     		y = 0.300895690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449333190917969 × 2 - 1) × π
    -0.101333618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31834895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300895690917969 × 2 - 1) × π
    0.398208618164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.25100926938461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31834895} λ = -0.31834895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25100926938461))-π/2
    2×atan(3.49386743202354)-π/2
    2×1.29203308152963-π/2
    2.58406616305926-1.57079632675     		φ = 1.01326984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31834895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.240051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01326984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.056085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58895 KachelY 39439 -0.31834895 1.01326984 -18.240051 58.056085
    Oben rechts KachelX + 1 58896 KachelY 39439 -0.31830101 1.01326984 -18.237304 58.056085
    Unten links KachelX 58895 KachelY + 1 39440 -0.31834895 1.01324447 -18.240051 58.054632
    Unten rechts KachelX + 1 58896 KachelY + 1 39440 -0.31830101 1.01324447 -18.237304 58.054632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01326984-1.01324447) × R
    2.53699999999135e-05 × 6371000     		dl = 161.632269999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01326984-1.01324447) × R
    2.53699999999135e-05 × 6371000     		dr = 161.632269999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31834895--0.31830101) × cos(1.01326984) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529088878383888 × 6371000     		do = 161.59736220625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31834895--0.31830101) × cos(1.01324447) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.529110406343535 × 6371000     		du = 161.603937399256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01326984)-sin(1.01324447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529088878383888-0.529110406343535)×R²
    abs(-0.31830101--0.31834895)×2.15279596472717e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15279596472717e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15279596472717e-05×40589641000000     		ar = 26119.8798623524m²