Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58895 / 31080
↖ ↑ ↗
← N 68.293779°
W 18.240051°		 ← 112.96 m → N 68.293779°
W 18.237304°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 68.292764°
W 18.240051°		 ← 112.97 m →
12 760 m²		 N 68.292764°
W 18.237304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449337005615234 y=0.237125396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449337005615234 × 217)
    floor (0.449337005615234 × 131072)
    floor (58895.5)     		tx = 58895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237125396728516 × 217)
    floor (0.237125396728516 × 131072)
    floor (31080.5)     		ty = 31080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58895 / 31080 ti = "17/58895/31080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58895/31080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58895 ÷ 217
    58895 ÷ 131072     		x = 0.449333190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31080 ÷ 217
    31080 ÷ 131072     		y = 0.23712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449333190917969 × 2 - 1) × π
    -0.101333618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31834895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23712158203125 × 2 - 1) × π
    0.5257568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65171381330865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31834895} λ = -0.31834895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65171381330865))-π/2
    2×atan(5.21591126973204)-π/2
    2×1.38137381834237-π/2
    2.76274763668473-1.57079632675     		φ = 1.19195131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31834895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.240051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19195131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.293779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58895 KachelY 31080 -0.31834895 1.19195131 -18.240051 68.293779
    Oben rechts KachelX + 1 58896 KachelY 31080 -0.31830101 1.19195131 -18.237304 68.293779
    Unten links KachelX 58895 KachelY + 1 31081 -0.31834895 1.19193358 -18.240051 68.292764
    Unten rechts KachelX + 1 58896 KachelY + 1 31081 -0.31830101 1.19193358 -18.237304 68.292764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19195131-1.19193358) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dl = 112.95783000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19195131-1.19193358) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dr = 112.95783000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31834895--0.31830101) × cos(1.19195131) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369847630192822 × 6371000     		do = 112.960986138946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31834895--0.31830101) × cos(1.19193358) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369864102943349 × 6371000     		du = 112.966017340965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19195131)-sin(1.19193358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369847630192822-0.369864102943349)×R²
    abs(-0.31830101--0.31834895)×1.64727505274076e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64727505274076e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64727505274076e-05×40589641000000     		ar = 12760.1120262429m²