Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58894 / 39407
↖ ↑ ↗
← N 58.102557°
W 18.242798°		 ← 161.39 m → N 58.102557°
W 18.240051°		 →
↑
161.38 m
↓
↑
161.38 m
↓
N 58.101106°
W 18.242798°		 ← 161.39 m →
26 045 m²		 N 58.101106°
W 18.240051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449329376220703 y=0.300655364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449329376220703 × 217)
    floor (0.449329376220703 × 131072)
    floor (58894.5)     		tx = 58894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300655364990234 × 217)
    floor (0.300655364990234 × 131072)
    floor (39407.5)     		ty = 39407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58894 / 39407 ti = "17/58894/39407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58894/39407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58894 ÷ 217
    58894 ÷ 131072     		x = 0.449325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39407 ÷ 217
    39407 ÷ 131072     		y = 0.300651550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449325561523438 × 2 - 1) × π
    -0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300651550292969 × 2 - 1) × π
    0.398696899414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.25254325017245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31839689} λ = -0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25254325017245))-π/2
    2×atan(3.49923107034684)-π/2
    2×1.29243862357363-π/2
    2.58487724714727-1.57079632675     		φ = 1.01408092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01408092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.102557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58894 KachelY 39407 -0.31839689 1.01408092 -18.242798 58.102557
    Oben rechts KachelX + 1 58895 KachelY 39407 -0.31834895 1.01408092 -18.240051 58.102557
    Unten links KachelX 58894 KachelY + 1 39408 -0.31839689 1.01405559 -18.242798 58.101106
    Unten rechts KachelX + 1 58895 KachelY + 1 39408 -0.31834895 1.01405559 -18.240051 58.101106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01408092-1.01405559) × R
    2.53300000001566e-05 × 6371000     		dl = 161.377430000998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01408092-1.01405559) × R
    2.53300000001566e-05 × 6371000     		dr = 161.377430000998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31839689--0.31834895) × cos(1.01408092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.528400449181625 × 6371000     		do = 161.387098207524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31839689--0.31834895) × cos(1.01405559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.528421954062251 × 6371000     		du = 161.393666351603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01408092)-sin(1.01405559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528400449181625-0.528421954062251)×R²
    abs(-0.31834895--0.31839689)×2.15048806263551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15048806263551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15048806263551e-05×40589641000000     		ar = 26044.7651207164m²