Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58894 / 31094
↖ ↑ ↗
← N 68.279553°
W 18.242798°		 ← 113.03 m → N 68.279553°
W 18.240051°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
N 68.278537°
W 18.242798°		 ← 113.04 m →
12 775 m²		 N 68.278537°
W 18.240051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449329376220703 y=0.237232208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449329376220703 × 217)
    floor (0.449329376220703 × 131072)
    floor (58894.5)     		tx = 58894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237232208251953 × 217)
    floor (0.237232208251953 × 131072)
    floor (31094.5)     		ty = 31094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58894 / 31094 ti = "17/58894/31094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58894/31094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58894 ÷ 217
    58894 ÷ 131072     		x = 0.449325561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31094 ÷ 217
    31094 ÷ 131072     		y = 0.237228393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449325561523438 × 2 - 1) × π
    -0.101348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31839689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237228393554688 × 2 - 1) × π
    0.525543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65104269671397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31839689} λ = -0.31839689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65104269671397))-π/2
    2×atan(5.21241195947647)-π/2
    2×1.38124967420281-π/2
    2.76249934840562-1.57079632675     		φ = 1.19170302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31839689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.242798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19170302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.279553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58894 KachelY 31094 -0.31839689 1.19170302 -18.242798 68.279553
    Oben rechts KachelX + 1 58895 KachelY 31094 -0.31834895 1.19170302 -18.240051 68.279553
    Unten links KachelX 58894 KachelY + 1 31095 -0.31839689 1.19168528 -18.242798 68.278537
    Unten rechts KachelX + 1 58895 KachelY + 1 31095 -0.31834895 1.19168528 -18.240051 68.278537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19170302-1.19168528) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19170302-1.19168528) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31839689--0.31834895) × cos(1.19170302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370078303147984 × 6371000     		do = 113.031439596843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31839689--0.31834895) × cos(1.19168528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370094783559771 × 6371000     		du = 113.036473138809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19170302)-sin(1.19168528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370078303147984-0.370094783559771)×R²
    abs(-0.31834895--0.31839689)×1.64804117868678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64804117868678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64804117868678e-05×40589641000000     		ar = 12775.2718214135m²