Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58893 / 46075
↖ ↑ ↗
← N 47.049540°
W 18.245544°		 ← 208.06 m → N 47.049540°
W 18.242798°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.047668°
W 18.245544°		 ← 208.07 m →
43 307 m²		 N 47.047668°
W 18.242798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449321746826172 y=0.351528167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449321746826172 × 217)
    floor (0.449321746826172 × 131072)
    floor (58893.5)     		tx = 58893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351528167724609 × 217)
    floor (0.351528167724609 × 131072)
    floor (46075.5)     		ty = 46075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58893 / 46075 ti = "17/58893/46075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58893/46075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58893 ÷ 217
    58893 ÷ 131072     		x = 0.449317932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46075 ÷ 217
    46075 ÷ 131072     		y = 0.351524353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449317932128906 × 2 - 1) × π
    -0.101364135742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31844482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351524353027344 × 2 - 1) × π
    0.296951293945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.932900003505913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31844482} λ = -0.31844482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932900003505913))-π/2
    2×atan(2.54186993106544)-π/2
    2×1.1959828565373-π/2
    2.39196571307459-1.57079632675     		φ = 0.82116939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31844482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.245544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82116939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.049540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58893 KachelY 46075 -0.31844482 0.82116939 -18.245544 47.049540
    Oben rechts KachelX + 1 58894 KachelY 46075 -0.31839689 0.82116939 -18.242798 47.049540
    Unten links KachelX 58893 KachelY + 1 46076 -0.31844482 0.82113672 -18.245544 47.047668
    Unten rechts KachelX + 1 58894 KachelY + 1 46076 -0.31839689 0.82113672 -18.242798 47.047668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82116939-0.82113672) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82116939-0.82113672) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31844482--0.31839689) × cos(0.82116939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681365746401175 × 6371000     		do = 208.063227493655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31844482--0.31839689) × cos(0.82113672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681389658619029 × 6371000     		du = 208.070529377041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82116939)-sin(0.82113672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681365746401175-0.681389658619029)×R²
    abs(-0.31839689--0.31844482)×2.39122178535833e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39122178535833e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39122178535833e-05×40589641000000     		ar = 43307.1586793646m²