Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58893 / 31079
↖ ↑ ↗
← N 68.294795°
W 18.245544°		 ← 112.93 m → N 68.294795°
W 18.242798°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 68.293779°
W 18.245544°		 ← 112.94 m →
12 757 m²		 N 68.293779°
W 18.242798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449321746826172 y=0.237117767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449321746826172 × 217)
    floor (0.449321746826172 × 131072)
    floor (58893.5)     		tx = 58893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237117767333984 × 217)
    floor (0.237117767333984 × 131072)
    floor (31079.5)     		ty = 31079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58893 / 31079 ti = "17/58893/31079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58893/31079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58893 ÷ 217
    58893 ÷ 131072     		x = 0.449317932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31079 ÷ 217
    31079 ÷ 131072     		y = 0.237113952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449317932128906 × 2 - 1) × π
    -0.101364135742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31844482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237113952636719 × 2 - 1) × π
    0.525772094726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.65176175020827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31844482} λ = -0.31844482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65176175020827))-π/2
    2×atan(5.21616131034004)-π/2
    2×1.38138268281933-π/2
    2.76276536563865-1.57079632675     		φ = 1.19196904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31844482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.245544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19196904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.294795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58893 KachelY 31079 -0.31844482 1.19196904 -18.245544 68.294795
    Oben rechts KachelX + 1 58894 KachelY 31079 -0.31839689 1.19196904 -18.242798 68.294795
    Unten links KachelX 58893 KachelY + 1 31080 -0.31844482 1.19195131 -18.245544 68.293779
    Unten rechts KachelX + 1 58894 KachelY + 1 31080 -0.31839689 1.19195131 -18.242798 68.293779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19196904-1.19195131) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19196904-1.19195131) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31844482--0.31839689) × cos(1.19196904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369831157326032 × 6371000     		do = 112.932392958396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31844482--0.31839689) × cos(1.19195131) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369847630192822 × 6371000     		du = 112.937423146438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19196904)-sin(1.19195131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369831157326032-0.369847630192822)×R²
    abs(-0.31839689--0.31844482)×1.64728667898517e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64728667898517e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64728667898517e-05×40589641000000     		ar = 12756.8821450687m²