Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58893 / 31071
↖ ↑ ↗
← N 68.302920°
W 18.245544°		 ← 112.89 m → N 68.302920°
W 18.242798°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 68.301905°
W 18.245544°		 ← 112.90 m →
12 745 m²		 N 68.301905°
W 18.242798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449321746826172 y=0.237056732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449321746826172 × 217)
    floor (0.449321746826172 × 131072)
    floor (58893.5)     		tx = 58893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237056732177734 × 217)
    floor (0.237056732177734 × 131072)
    floor (31071.5)     		ty = 31071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58893 / 31071 ti = "17/58893/31071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58893/31071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58893 ÷ 217
    58893 ÷ 131072     		x = 0.449317932128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31071 ÷ 217
    31071 ÷ 131072     		y = 0.237052917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449317932128906 × 2 - 1) × π
    -0.101364135742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31844482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237052917480469 × 2 - 1) × π
    0.525894165039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.65214524540524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31844482} λ = -0.31844482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65214524540524))-π/2
    2×atan(5.21816206676484)-π/2
    2×1.38145358442351-π/2
    2.76290716884701-1.57079632675     		φ = 1.19211084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31844482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.245544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19211084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.302920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58893 KachelY 31071 -0.31844482 1.19211084 -18.245544 68.302920
    Oben rechts KachelX + 1 58894 KachelY 31071 -0.31839689 1.19211084 -18.242798 68.302920
    Unten links KachelX 58893 KachelY + 1 31072 -0.31844482 1.19209312 -18.245544 68.301905
    Unten rechts KachelX + 1 58894 KachelY + 1 31072 -0.31839689 1.19209312 -18.242798 68.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19211084-1.19209312) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19211084-1.19209312) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31844482--0.31839689) × cos(1.19211084) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369699407372934 × 6371000     		do = 112.892161525265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31844482--0.31839689) × cos(1.19209312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369715871877928 × 6371000     		du = 112.897189159933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19211084)-sin(1.19209312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369699407372934-0.369715871877928)×R²
    abs(-0.31839689--0.31844482)×1.64645049940959e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64645049940959e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64645049940959e-05×40589641000000     		ar = 12745.1450257903m²