Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58892 / 46133
↖ ↑ ↗
← N 46.940887°
W 18.248291°		 ← 208.53 m → N 46.940887°
W 18.245544°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
N 46.939012°
W 18.248291°		 ← 208.54 m →
43 484 m²		 N 46.939012°
W 18.245544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449314117431641 y=0.351970672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449314117431641 × 217)
    floor (0.449314117431641 × 131072)
    floor (58892.5)     		tx = 58892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351970672607422 × 217)
    floor (0.351970672607422 × 131072)
    floor (46133.5)     		ty = 46133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58892 / 46133 ti = "17/58892/46133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58892/46133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58892 ÷ 217
    58892 ÷ 131072     		x = 0.449310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46133 ÷ 217
    46133 ÷ 131072     		y = 0.351966857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.10137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31849276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351966857910156 × 2 - 1) × π
    0.296066284179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.930119663327949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31849276} λ = -0.31849276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.930119663327949))-π/2
    2×atan(2.5348124835677)-π/2
    2×1.19503467835247-π/2
    2.39006935670495-1.57079632675     		φ = 0.81927303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31849276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.248291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81927303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.940887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58892 KachelY 46133 -0.31849276 0.81927303 -18.248291 46.940887
    Oben rechts KachelX + 1 58893 KachelY 46133 -0.31844482 0.81927303 -18.245544 46.940887
    Unten links KachelX 58892 KachelY + 1 46134 -0.31849276 0.81924030 -18.248291 46.939012
    Unten rechts KachelX + 1 58893 KachelY + 1 46134 -0.31844482 0.81924030 -18.245544 46.939012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81927303-0.81924030) × R
    3.27299999999253e-05 × 6371000     		dl = 208.522829999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81927303-0.81924030) × R
    3.27299999999253e-05 × 6371000     		dr = 208.522829999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31849276--0.31844482) × cos(0.81927303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682752548052674 × 6371000     		do = 208.530202225737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31849276--0.31844482) × cos(0.81924030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682776461851068 × 6371000     		du = 208.537506115308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81927303)-sin(0.81924030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682752548052674-0.682776461851068)×R²
    abs(-0.31844482--0.31849276)×2.39137983943927e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39137983943927e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39137983943927e-05×40589641000000     		ar = 43484.0694261957m²