Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58892 / 31076
↖ ↑ ↗
← N 68.297842°
W 18.248291°		 ← 112.94 m → N 68.297842°
W 18.245544°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
N 68.296826°
W 18.248291°		 ← 112.95 m →
12 758 m²		 N 68.296826°
W 18.245544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449314117431641 y=0.237094879150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449314117431641 × 217)
    floor (0.449314117431641 × 131072)
    floor (58892.5)     		tx = 58892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237094879150391 × 217)
    floor (0.237094879150391 × 131072)
    floor (31076.5)     		ty = 31076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58892 / 31076 ti = "17/58892/31076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58892/31076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58892 ÷ 217
    58892 ÷ 131072     		x = 0.449310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31076 ÷ 217
    31076 ÷ 131072     		y = 0.237091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.10137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31849276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237091064453125 × 2 - 1) × π
    0.52581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65190556090714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31849276} λ = -0.31849276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65190556090714))-π/2
    2×atan(5.2169115040851)-π/2
    2×1.38140927388148-π/2
    2.76281854776295-1.57079632675     		φ = 1.19202222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31849276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.248291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19202222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.297842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58892 KachelY 31076 -0.31849276 1.19202222 -18.248291 68.297842
    Oben rechts KachelX + 1 58893 KachelY 31076 -0.31844482 1.19202222 -18.245544 68.297842
    Unten links KachelX 58892 KachelY + 1 31077 -0.31849276 1.19200449 -18.248291 68.296826
    Unten rechts KachelX + 1 58893 KachelY + 1 31077 -0.31844482 1.19200449 -18.245544 68.296826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19202222-1.19200449) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19202222-1.19200449) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31849276--0.31844482) × cos(1.19202222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369781747319324 × 6371000     		do = 112.940863813424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31849276--0.31844482) × cos(1.19200449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369798220534806 × 6371000     		du = 112.945895157452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19202222)-sin(1.19200449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369781747319324-0.369798220534806)×R²
    abs(-0.31844482--0.31849276)×1.64732154812608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64732154812608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64732154812608e-05×40589641000000     		ar = 12757.8390597076m²