Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58890 / 46170
↖ ↑ ↗
← N 46.871458°
W 18.253784°		 ← 208.76 m → N 46.871458°
W 18.251038°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
N 46.869581°
W 18.253784°		 ← 208.76 m →
43 585 m²		 N 46.869581°
W 18.251038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449298858642578 y=0.352252960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449298858642578 × 217)
    floor (0.449298858642578 × 131072)
    floor (58890.5)     		tx = 58890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352252960205078 × 217)
    floor (0.352252960205078 × 131072)
    floor (46170.5)     		ty = 46170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58890 / 46170 ti = "17/58890/46170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58890/46170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58890 ÷ 217
    58890 ÷ 131072     		x = 0.449295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46170 ÷ 217
    46170 ÷ 131072     		y = 0.352249145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449295043945312 × 2 - 1) × π
    -0.101409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31858863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352249145507812 × 2 - 1) × π
    0.295501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.928345998042007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31858863} λ = -0.31858863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928345998042007))-π/2
    2×atan(2.53032055942178)-π/2
    2×1.19442879875049-π/2
    2.38885759750098-1.57079632675     		φ = 0.81806127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31858863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.253784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81806127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.871458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58890 KachelY 46170 -0.31858863 0.81806127 -18.253784 46.871458
    Oben rechts KachelX + 1 58891 KachelY 46170 -0.31854070 0.81806127 -18.251038 46.871458
    Unten links KachelX 58890 KachelY + 1 46171 -0.31858863 0.81802850 -18.253784 46.869581
    Unten rechts KachelX + 1 58891 KachelY + 1 46171 -0.31854070 0.81802850 -18.251038 46.869581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81806127-0.81802850) × R
    3.27699999999043e-05 × 6371000     		dl = 208.77766999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81806127-0.81802850) × R
    3.27699999999043e-05 × 6371000     		dr = 208.77766999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31858863--0.31854070) × cos(0.81806127) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683637418630937 × 6371000     		do = 208.756909936989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31858863--0.31854070) × cos(0.81802850) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.6836613345247 × 6371000     		du = 208.764212942857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81806127)-sin(0.81802850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683637418630937-0.6836613345247)×R²
    abs(-0.31854070--0.31858863)×2.3915893762938e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3915893762938e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3915893762938e-05×40589641000000     		ar = 43584.5436091152m²