Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58890 / 46136
↖ ↑ ↗
← N 46.935261°
W 18.253784°		 ← 208.51 m → N 46.935261°
W 18.251038°		 →
↑
208.59 m
↓
↑
208.59 m
↓
N 46.933385°
W 18.253784°		 ← 208.52 m →
43 493 m²		 N 46.933385°
W 18.251038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449298858642578 y=0.351993560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449298858642578 × 217)
    floor (0.449298858642578 × 131072)
    floor (58890.5)     		tx = 58890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351993560791016 × 217)
    floor (0.351993560791016 × 131072)
    floor (46136.5)     		ty = 46136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58890 / 46136 ti = "17/58890/46136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58890/46136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58890 ÷ 217
    58890 ÷ 131072     		x = 0.449295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46136 ÷ 217
    46136 ÷ 131072     		y = 0.35198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449295043945312 × 2 - 1) × π
    -0.101409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31858863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35198974609375 × 2 - 1) × π
    0.2960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.929975852629089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31858863} λ = -0.31858863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929975852629089))-π/2
    2×atan(2.53444797662359)-π/2
    2×1.19498558221266-π/2
    2.38997116442531-1.57079632675     		φ = 0.81917484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31858863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.253784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81917484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.935261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58890 KachelY 46136 -0.31858863 0.81917484 -18.253784 46.935261
    Oben rechts KachelX + 1 58891 KachelY 46136 -0.31854070 0.81917484 -18.251038 46.935261
    Unten links KachelX 58890 KachelY + 1 46137 -0.31858863 0.81914210 -18.253784 46.933385
    Unten rechts KachelX + 1 58891 KachelY + 1 46137 -0.31854070 0.81914210 -18.251038 46.933385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81917484-0.81914210) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dl = 208.586539999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81917484-0.81914210) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dr = 208.586539999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31858863--0.31854070) × cos(0.81917484) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682824287253553 × 6371000     		do = 208.508610488934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31858863--0.31854070) × cos(0.81914210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682848206163195 × 6371000     		du = 208.515914415738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81917484)-sin(0.81914210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682824287253553-0.682848206163195)×R²
    abs(-0.31854070--0.31858863)×2.39189096415959e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39189096415959e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39189096415959e-05×40589641000000     		ar = 43492.8513762198m²