Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58890 / 39894
↖ ↑ ↗
← N 57.388744°
W 18.253784°		 ← 164.57 m → N 57.388744°
W 18.251038°		 →
↑
164.56 m
↓
↑
164.56 m
↓
N 57.387264°
W 18.253784°		 ← 164.58 m →
27 083 m²		 N 57.387264°
W 18.251038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449298858642578 y=0.304370880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449298858642578 × 217)
    floor (0.449298858642578 × 131072)
    floor (58890.5)     		tx = 58890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304370880126953 × 217)
    floor (0.304370880126953 × 131072)
    floor (39894.5)     		ty = 39894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58890 / 39894 ti = "17/58890/39894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58890/39894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58890 ÷ 217
    58890 ÷ 131072     		x = 0.449295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39894 ÷ 217
    39894 ÷ 131072     		y = 0.304367065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449295043945312 × 2 - 1) × π
    -0.101409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31858863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304367065429688 × 2 - 1) × π
    0.391265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22919798005748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31858863} λ = -0.31858863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22919798005748))-π/2
    2×atan(3.41848674200851)-π/2
    2×1.28620942926383-π/2
    2.57241885852767-1.57079632675     		φ = 1.00162253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31858863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.253784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00162253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.388744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58890 KachelY 39894 -0.31858863 1.00162253 -18.253784 57.388744
    Oben rechts KachelX + 1 58891 KachelY 39894 -0.31854070 1.00162253 -18.251038 57.388744
    Unten links KachelX 58890 KachelY + 1 39895 -0.31858863 1.00159670 -18.253784 57.387264
    Unten rechts KachelX + 1 58891 KachelY + 1 39895 -0.31854070 1.00159670 -18.251038 57.387264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00162253-1.00159670) × R
    2.58300000000045e-05 × 6371000     		dl = 164.562930000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00162253-1.00159670) × R
    2.58300000000045e-05 × 6371000     		dr = 164.562930000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31858863--0.31854070) × cos(1.00162253) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.538936283349472 × 6371000     		do = 164.57067752416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31858863--0.31854070) × cos(1.00159670) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.538958040980643 × 6371000     		du = 164.577321478583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00162253)-sin(1.00159670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538936283349472-0.538958040980643)×R²
    abs(-0.31854070--0.31858863)×2.17576311716261e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.17576311716261e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.17576311716261e-05×40589641000000     		ar = 27082.7795614517m²