Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58890 / 39431
↖ ↑ ↗
← N 58.067709°
W 18.253784°		 ← 161.51 m → N 58.067709°
W 18.251038°		 →
↑
161.57 m
↓
↑
161.57 m
↓
N 58.066256°
W 18.253784°		 ← 161.52 m →
26 096 m²		 N 58.066256°
W 18.251038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449298858642578 y=0.300838470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449298858642578 × 217)
    floor (0.449298858642578 × 131072)
    floor (58890.5)     		tx = 58890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300838470458984 × 217)
    floor (0.300838470458984 × 131072)
    floor (39431.5)     		ty = 39431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58890 / 39431 ti = "17/58890/39431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58890/39431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58890 ÷ 217
    58890 ÷ 131072     		x = 0.449295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39431 ÷ 217
    39431 ÷ 131072     		y = 0.300834655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449295043945312 × 2 - 1) × π
    -0.101409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31858863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300834655761719 × 2 - 1) × π
    0.398330688476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.25139276458157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31858863} λ = -0.31858863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25139276458157))-π/2
    2×atan(3.49520757035442)-π/2
    2×1.29213451654591-π/2
    2.58426903309182-1.57079632675     		φ = 1.01347271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31858863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.253784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01347271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.067709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58890 KachelY 39431 -0.31858863 1.01347271 -18.253784 58.067709
    Oben rechts KachelX + 1 58891 KachelY 39431 -0.31854070 1.01347271 -18.251038 58.067709
    Unten links KachelX 58890 KachelY + 1 39432 -0.31858863 1.01344735 -18.253784 58.066256
    Unten rechts KachelX + 1 58891 KachelY + 1 39432 -0.31854070 1.01344735 -18.251038 58.066256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01347271-1.01344735) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dl = 161.568559999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01347271-1.01344735) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dr = 161.568559999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31858863--0.31854070) × cos(1.01347271) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.528916718829031 × 6371000     		do = 161.511082962484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31858863--0.31854070) × cos(1.01344735) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.528938241024808 × 6371000     		du = 161.517655023877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01347271)-sin(1.01344735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528916718829031-0.528938241024808)×R²
    abs(-0.31854070--0.31858863)×2.15221957774459e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.15221957774459e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.15221957774459e-05×40589641000000     		ar = 26095.6440189779m²