Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5889 / 2307
↖ ↑ ↗
← N 82.304480°
W115.301514°		 ← 163.59 m → N 82.304480°
W115.290527°		 →
↑
163.61 m
↓
↑
163.61 m
↓
N 82.303009°
W115.301514°		 ← 163.62 m →
26 767 m²		 N 82.303009°
W115.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179733276367188 y=0.0704193115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179733276367188 × 215)
    floor (0.179733276367188 × 32768)
    floor (5889.5)     		tx = 5889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0704193115234375 × 215)
    floor (0.0704193115234375 × 32768)
    floor (2307.5)     		ty = 2307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5889 / 2307 ti = "15/5889/2307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5889/2307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5889 ÷ 215
    5889 ÷ 32768     		x = 0.179718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2307 ÷ 215
    2307 ÷ 32768     		y = 0.070404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.64056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.01239105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070404052734375 × 2 - 1) × π
    0.85919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69923094380612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01239105} λ = -2.01239105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69923094380612))-π/2
    2×atan(14.8682927741883)-π/2
    2×1.50364024841884-π/2
    3.00728049683768-1.57079632675     		φ = 1.43648417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01239105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43648417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.304480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5889 KachelY 2307 -2.01239105 1.43648417 -115.301514 82.304480
    Oben rechts KachelX + 1 5890 KachelY 2307 -2.01219930 1.43648417 -115.290527 82.304480
    Unten links KachelX 5889 KachelY + 1 2308 -2.01239105 1.43645849 -115.301514 82.303009
    Unten rechts KachelX + 1 5890 KachelY + 1 2308 -2.01219930 1.43645849 -115.290527 82.303009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43648417-1.43645849) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dl = 163.607280000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43648417-1.43645849) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dr = 163.607280000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01239105--2.01219930) × cos(1.43648417) × R
    0.000191750000000379 × 0.133908694474258 × 6371000     		do = 163.588117086335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01239105--2.01219930) × cos(1.43645849) × R
    0.000191750000000379 × 0.133934143147645 × 6371000     		du = 163.619206184605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43648417)-sin(1.43645849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133908694474258-0.133934143147645)×R²
    abs(-2.01219930--2.01239105)×2.54486733869685e-05×R²
    0.000191750000000379×2.54486733869685e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.54486733869685e-05×40589641000000     		ar = 26766.7500797596m²