Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58887 / 46105
↖ ↑ ↗
← N 46.993368°
W 18.262024°		 ← 208.33 m → N 46.993368°
W 18.259277°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
N 46.991495°
W 18.262024°		 ← 208.33 m →
43 388 m²		 N 46.991495°
W 18.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449275970458984 y=0.351757049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449275970458984 × 217)
    floor (0.449275970458984 × 131072)
    floor (58887.5)     		tx = 58887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351757049560547 × 217)
    floor (0.351757049560547 × 131072)
    floor (46105.5)     		ty = 46105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58887 / 46105 ti = "17/58887/46105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58887/46105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58887 ÷ 217
    58887 ÷ 131072     		x = 0.449272155761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46105 ÷ 217
    46105 ÷ 131072     		y = 0.351753234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449272155761719 × 2 - 1) × π
    -0.101455688476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31873245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351753234863281 × 2 - 1) × π
    0.296493530273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.931461896517311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31873245} λ = -0.31873245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931461896517311))-π/2
    2×atan(2.53821707738022)-π/2
    2×1.19549266024485-π/2
    2.39098532048969-1.57079632675     		φ = 0.82018899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31873245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.262024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82018899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.993368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58887 KachelY 46105 -0.31873245 0.82018899 -18.262024 46.993368
    Oben rechts KachelX + 1 58888 KachelY 46105 -0.31868451 0.82018899 -18.259277 46.993368
    Unten links KachelX 58887 KachelY + 1 46106 -0.31873245 0.82015630 -18.262024 46.991495
    Unten rechts KachelX + 1 58888 KachelY + 1 46106 -0.31868451 0.82015630 -18.259277 46.991495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82018899-0.82015630) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dl = 208.267990000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82018899-0.82015630) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dr = 208.267990000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31873245--0.31868451) × cos(0.82018899) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682083015854554 × 6371000     		do = 208.325709858913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31873245--0.31868451) × cos(0.82015630) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682106920861666 × 6371000     		du = 208.3330110634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82018899)-sin(0.82015630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682083015854554-0.682106920861666)×R²
    abs(-0.31868451--0.31873245)×2.39050071126901e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39050071126901e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39050071126901e-05×40589641000000     		ar = 43388.3371652053m²