Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58886 / 46111
↖ ↑ ↗
← N 46.982126°
W 18.264770°		 ← 208.33 m → N 46.982126°
W 18.262024°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 46.980253°
W 18.264770°		 ← 208.33 m →
43 402 m²		 N 46.980253°
W 18.262024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449268341064453 y=0.351802825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449268341064453 × 217)
    floor (0.449268341064453 × 131072)
    floor (58886.5)     		tx = 58886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351802825927734 × 217)
    floor (0.351802825927734 × 131072)
    floor (46111.5)     		ty = 46111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58886 / 46111 ti = "17/58886/46111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58886/46111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58886 ÷ 217
    58886 ÷ 131072     		x = 0.449264526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46111 ÷ 217
    46111 ÷ 131072     		y = 0.351799011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449264526367188 × 2 - 1) × π
    -0.101470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31878038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351799011230469 × 2 - 1) × π
    0.296401977539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.931174275119591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31878038} λ = -0.31878038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931174275119591))-π/2
    2×atan(2.537487136815)-π/2
    2×1.19539455909421-π/2
    2.39078911818843-1.57079632675     		φ = 0.81999279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31878038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.264770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81999279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.982126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58886 KachelY 46111 -0.31878038 0.81999279 -18.264770 46.982126
    Oben rechts KachelX + 1 58887 KachelY 46111 -0.31873245 0.81999279 -18.262024 46.982126
    Unten links KachelX 58886 KachelY + 1 46112 -0.31878038 0.81996009 -18.264770 46.980253
    Unten rechts KachelX + 1 58887 KachelY + 1 46112 -0.31873245 0.81996009 -18.262024 46.980253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81999279-0.81996009) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81999279-0.81996009) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31878038--0.31873245) × cos(0.81999279) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682226478831313 × 6371000     		do = 208.326062495568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31878038--0.31873245) × cos(0.81996009) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682250386774346 × 6371000     		du = 208.333363073586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81999279)-sin(0.81996009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682226478831313-0.682250386774346)×R²
    abs(-0.31873245--0.31878038)×2.39079430329747e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39079430329747e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39079430329747e-05×40589641000000     		ar = 43401.6832287323m²