Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58885 / 46106
↖ ↑ ↗
← N 46.991495°
W 18.267517°		 ← 208.33 m → N 46.991495°
W 18.264770°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 46.989621°
W 18.267517°		 ← 208.34 m →
43 403 m²		 N 46.989621°
W 18.264770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449260711669922 y=0.351764678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449260711669922 × 217)
    floor (0.449260711669922 × 131072)
    floor (58885.5)     		tx = 58885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351764678955078 × 217)
    floor (0.351764678955078 × 131072)
    floor (46106.5)     		ty = 46106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58885 / 46106 ti = "17/58885/46106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58885/46106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58885 ÷ 217
    58885 ÷ 131072     		x = 0.449256896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46106 ÷ 217
    46106 ÷ 131072     		y = 0.351760864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449256896972656 × 2 - 1) × π
    -0.101486206054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31882832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351760864257812 × 2 - 1) × π
    0.296478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.931413959617691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31882832} λ = -0.31882832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931413959617691))-π/2
    2×atan(2.53809540603927)-π/2
    2×1.19547631148583-π/2
    2.39095262297166-1.57079632675     		φ = 0.82015630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31882832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.267517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82015630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.991495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58885 KachelY 46106 -0.31882832 0.82015630 -18.267517 46.991495
    Oben rechts KachelX + 1 58886 KachelY 46106 -0.31878038 0.82015630 -18.264770 46.991495
    Unten links KachelX 58885 KachelY + 1 46107 -0.31882832 0.82012360 -18.267517 46.989621
    Unten rechts KachelX + 1 58886 KachelY + 1 46107 -0.31878038 0.82012360 -18.264770 46.989621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82015630-0.82012360) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82015630-0.82012360) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31882832--0.31878038) × cos(0.82015630) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682106920861666 × 6371000     		do = 208.3330110634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31882832--0.31878038) × cos(0.82012360) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682130832452156 × 6371000     		du = 208.34031427862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82015630)-sin(0.82012360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682106920861666-0.682130832452156)×R²
    abs(-0.31878038--0.31882832)×2.39115904901999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39115904901999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39115904901999e-05×40589641000000     		ar = 43403.1311104165m²