Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58885 / 39912
↖ ↑ ↗
← N 57.362090°
W 18.267517°		 ← 164.72 m → N 57.362090°
W 18.264770°		 →
↑
164.69 m
↓
↑
164.69 m
↓
N 57.360609°
W 18.267517°		 ← 164.73 m →
27 129 m²		 N 57.360609°
W 18.264770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449260711669922 y=0.304508209228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449260711669922 × 217)
    floor (0.449260711669922 × 131072)
    floor (58885.5)     		tx = 58885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304508209228516 × 217)
    floor (0.304508209228516 × 131072)
    floor (39912.5)     		ty = 39912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58885 / 39912 ti = "17/58885/39912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58885/39912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58885 ÷ 217
    58885 ÷ 131072     		x = 0.449256896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39912 ÷ 217
    39912 ÷ 131072     		y = 0.30450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449256896972656 × 2 - 1) × π
    -0.101486206054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31882832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30450439453125 × 2 - 1) × π
    0.3909912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22833511586432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31882832} λ = -0.31882832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22833511586432))-π/2
    2×atan(3.41553832442894)-π/2
    2×1.28597683034242-π/2
    2.57195366068485-1.57079632675     		φ = 1.00115733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31882832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.267517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00115733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.362090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58885 KachelY 39912 -0.31882832 1.00115733 -18.267517 57.362090
    Oben rechts KachelX + 1 58886 KachelY 39912 -0.31878038 1.00115733 -18.264770 57.362090
    Unten links KachelX 58885 KachelY + 1 39913 -0.31882832 1.00113148 -18.267517 57.360609
    Unten rechts KachelX + 1 58886 KachelY + 1 39913 -0.31878038 1.00113148 -18.264770 57.360609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00115733-1.00113148) × R
    2.5850000000105e-05 × 6371000     		dl = 164.690350000669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00115733-1.00113148) × R
    2.5850000000105e-05 × 6371000     		dr = 164.690350000669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31882832--0.31878038) × cos(1.00115733) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.539328084626839 × 6371000     		do = 164.724679350018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31882832--0.31878038) × cos(1.00113148) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.539349852621241 × 6371000     		du = 164.731327855816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00115733)-sin(1.00113148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539328084626839-0.539349852621241)×R²
    abs(-0.31878038--0.31882832)×2.1767994401789e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1767994401789e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1767994401789e-05×40589641000000     		ar = 27129.1125697022m²