Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58883 / 31283
↖ ↑ ↗
← N 68.086634°
W 18.273010°		 ← 113.96 m → N 68.086634°
W 18.270264°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
N 68.085609°
W 18.273010°		 ← 113.97 m →
12 989 m²		 N 68.085609°
W 18.270264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449245452880859 y=0.238674163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449245452880859 × 217)
    floor (0.449245452880859 × 131072)
    floor (58883.5)     		tx = 58883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238674163818359 × 217)
    floor (0.238674163818359 × 131072)
    floor (31283.5)     		ty = 31283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58883 / 31283 ti = "17/58883/31283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58883/31283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58883 ÷ 217
    58883 ÷ 131072     		x = 0.449241638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31283 ÷ 217
    31283 ÷ 131072     		y = 0.238670349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449241638183594 × 2 - 1) × π
    -0.101516723632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31892419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238670349121094 × 2 - 1) × π
    0.522659301757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.64198262268578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31892419} λ = -0.31892419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64198262268578))-π/2
    2×atan(5.16540040690934)-π/2
    2×1.37956613387537-π/2
    2.75913226775075-1.57079632675     		φ = 1.18833594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31892419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.273010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18833594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.086634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58883 KachelY 31283 -0.31892419 1.18833594 -18.273010 68.086634
    Oben rechts KachelX + 1 58884 KachelY 31283 -0.31887626 1.18833594 -18.270264 68.086634
    Unten links KachelX 58883 KachelY + 1 31284 -0.31892419 1.18831805 -18.273010 68.085609
    Unten rechts KachelX + 1 58884 KachelY + 1 31284 -0.31887626 1.18831805 -18.270264 68.085609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18833594-1.18831805) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18833594-1.18831805) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31892419--0.31887626) × cos(1.18833594) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.37320421863044 × 6371000     		do = 113.962397805493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31892419--0.31887626) × cos(1.18831805) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.373220816004224 × 6371000     		du = 113.967466013244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18833594)-sin(1.18831805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37320421863044-0.373220816004224)×R²
    abs(-0.31887626--0.31892419)×1.65973737838998e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65973737838998e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65973737838998e-05×40589641000000     		ar = 12989.4026979449m²