Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58882 / 40453
↖ ↑ ↗
← N 56.551914°
W 18.275757°		 ← 168.34 m → N 56.551914°
W 18.273010°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
N 56.550400°
W 18.275757°		 ← 168.35 m →
28 347 m²		 N 56.550400°
W 18.273010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449237823486328 y=0.308635711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449237823486328 × 217)
    floor (0.449237823486328 × 131072)
    floor (58882.5)     		tx = 58882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308635711669922 × 217)
    floor (0.308635711669922 × 131072)
    floor (40453.5)     		ty = 40453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58882 / 40453 ti = "17/58882/40453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58882/40453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58882 ÷ 217
    58882 ÷ 131072     		x = 0.449234008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40453 ÷ 217
    40453 ÷ 131072     		y = 0.308631896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449234008789062 × 2 - 1) × π
    -0.101531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31897213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308631896972656 × 2 - 1) × π
    0.382736206054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.20240125316987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31897213} λ = -0.31897213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20240125316987))-π/2
    2×atan(3.3280989436127)-π/2
    2×1.27890671148096-π/2
    2.55781342296191-1.57079632675     		φ = 0.98701710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31897213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.275757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98701710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.551914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58882 KachelY 40453 -0.31897213 0.98701710 -18.275757 56.551914
    Oben rechts KachelX + 1 58883 KachelY 40453 -0.31892419 0.98701710 -18.273010 56.551914
    Unten links KachelX 58882 KachelY + 1 40454 -0.31897213 0.98699067 -18.275757 56.550400
    Unten rechts KachelX + 1 58883 KachelY + 1 40454 -0.31892419 0.98699067 -18.273010 56.550400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98701710-0.98699067) × R
    2.64300000000217e-05 × 6371000     		dl = 168.385530000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98701710-0.98699067) × R
    2.64300000000217e-05 × 6371000     		dr = 168.385530000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31897213--0.31892419) × cos(0.98701710) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551181197740012 × 6371000     		do = 168.344925193914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31897213--0.31892419) × cos(0.98699067) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551203250358236 × 6371000     		du = 168.351660631154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98701710)-sin(0.98699067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551181197740012-0.551203250358236)×R²
    abs(-0.31892419--0.31897213)×2.20526182241887e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20526182241887e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20526182241887e-05×40589641000000     		ar = 28347.4165283807m²