Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 58880 / 59904
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E143.437500°		 ← 90.09 m → S 81.518272°
E143.442993°		 →
↑
90.09 m
↓
↑
90.09 m
↓
S 81.519082°
E143.437500°		 ← 90.08 m →
8 115 m²		 S 81.519082°
E143.442993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.898445129394531 y=0.914070129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.898445129394531 × 216)
    floor (0.898445129394531 × 65536)
    floor (58880.5)     		tx = 58880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914070129394531 × 216)
    floor (0.914070129394531 × 65536)
    floor (59904.5)     		ty = 59904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 58880 / 59904 ti = "16/58880/59904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/58880/59904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58880 ÷ 216
    58880 ÷ 65536     		x = 0.8984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59904 ÷ 216
    59904 ÷ 65536     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8984375 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.50345665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.50345665} λ = 2.50345665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.50345665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 143.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58880 KachelY 59904 2.50345665 -1.42276224 143.437500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 58881 KachelY 59904 2.50355252 -1.42276224 143.442993 -81.518272
    Unten links KachelX 58880 KachelY + 1 59905 2.50345665 -1.42277638 143.437500 -81.519082
    Unten rechts KachelX + 1 58881 KachelY + 1 59905 2.50355252 -1.42277638 143.442993 -81.519082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42277638) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dl = 90.0859399999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42277638) × R
    1.41399999999958e-05 × 6371000     		dr = 90.0859399999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.50345665-2.50355252) × cos(-1.42276224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 90.0875355209754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.50345665-2.50355252) × cos(-1.42277638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147480021466652 × 6371000     		du = 90.0789934311663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42277638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.147480021466652)×R²
    abs(2.50355252-2.50345665)×1.39853648495059e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39853648495059e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39853648495059e-05×40589641000000     		ar = 8115.2355588826m²