Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58880 / 45938
↖ ↑ ↗
← N 47.305309°
W 18.281250°		 ← 207.06 m → N 47.305309°
W 18.278504°		 →
↑
207.06 m
↓
↑
207.06 m
↓
N 47.303447°
W 18.281250°		 ← 207.07 m →
42 875 m²		 N 47.303447°
W 18.278504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449222564697266 y=0.350482940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449222564697266 × 217)
    floor (0.449222564697266 × 131072)
    floor (58880.5)     		tx = 58880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350482940673828 × 217)
    floor (0.350482940673828 × 131072)
    floor (45938.5)     		ty = 45938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58880 / 45938 ti = "17/58880/45938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58880/45938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58880 ÷ 217
    58880 ÷ 131072     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45938 ÷ 217
    45938 ÷ 131072     		y = 0.350479125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350479125976562 × 2 - 1) × π
    0.299041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.93946735875386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93946735875386))-π/2
    2×atan(2.55861822971399)-π/2
    2×1.19821486570736-π/2
    2.39642973141472-1.57079632675     		φ = 0.82563340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82563340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.305309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58880 KachelY 45938 -0.31906800 0.82563340 -18.281250 47.305309
    Oben rechts KachelX + 1 58881 KachelY 45938 -0.31902007 0.82563340 -18.278504 47.305309
    Unten links KachelX 58880 KachelY + 1 45939 -0.31906800 0.82560090 -18.281250 47.303447
    Unten rechts KachelX + 1 58881 KachelY + 1 45939 -0.31902007 0.82560090 -18.278504 47.303447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82563340-0.82560090) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dl = 207.057499999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82563340-0.82560090) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dr = 207.057499999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31902007) × cos(0.82563340) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.678091566972659 × 6371000     		do = 207.063417416779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31902007) × cos(0.82560090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.678115453381105 × 6371000     		du = 207.070711418951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82563340)-sin(0.82560090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678091566972659-0.678115453381105)×R²
    abs(-0.31902007--0.31906800)×2.38864084463053e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38864084463053e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38864084463053e-05×40589641000000     		ar = 42874.7886944106m²