Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58880 / 31296
↖ ↑ ↗
← N 68.073305°
W 18.281250°		 ← 114.03 m → N 68.073305°
W 18.278504°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
N 68.072279°
W 18.281250°		 ← 114.03 m →
13 004 m²		 N 68.072279°
W 18.278504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449222564697266 y=0.238773345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449222564697266 × 217)
    floor (0.449222564697266 × 131072)
    floor (58880.5)     		tx = 58880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238773345947266 × 217)
    floor (0.238773345947266 × 131072)
    floor (31296.5)     		ty = 31296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58880 / 31296 ti = "17/58880/31296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58880/31296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58880 ÷ 217
    58880 ÷ 131072     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31296 ÷ 217
    31296 ÷ 131072     		y = 0.23876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23876953125 × 2 - 1) × π
    0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64135944299072))-π/2
    2×atan(5.16218243704978)-π/2
    2×1.37944981360882-π/2
    2.75889962721763-1.57079632675     		φ = 1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58880 KachelY 31296 -0.31906800 1.18810330 -18.281250 68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 58881 KachelY 31296 -0.31902007 1.18810330 -18.278504 68.073305
    Unten links KachelX 58880 KachelY + 1 31297 -0.31906800 1.18808540 -18.281250 68.072279
    Unten rechts KachelX + 1 58881 KachelY + 1 31297 -0.31902007 1.18808540 -18.278504 68.072279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18810330-1.18808540) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18810330-1.18808540) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31902007) × cos(1.18810330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 114.028301489937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31902007) × cos(1.18808540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373436645203976 × 6371000     		du = 114.033372055946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18810330)-sin(1.18808540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.373436645203976)×R²
    abs(-0.31902007--0.31906800)×1.66050966073916e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66050966073916e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66050966073916e-05×40589641000000     		ar = 13004.1792537615m²