Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5888 / 2305
↖ ↑ ↗
← N 82.307422°
W115.312500°		 ← 163.52 m → N 82.307422°
W115.301514°		 →
↑
163.54 m
↓
↑
163.54 m
↓
N 82.305951°
W115.312500°		 ← 163.55 m →
26 745 m²		 N 82.305951°
W115.301514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179702758789062 y=0.0703582763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179702758789062 × 215)
    floor (0.179702758789062 × 32768)
    floor (5888.5)     		tx = 5888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0703582763671875 × 215)
    floor (0.0703582763671875 × 32768)
    floor (2305.5)     		ty = 2305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5888 / 2305 ti = "15/5888/2305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5888/2305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5888 ÷ 215
    5888 ÷ 32768     		x = 0.1796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2305 ÷ 215
    2305 ÷ 32768     		y = 0.070343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1796875 × 2 - 1) × π
    -0.640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070343017578125 × 2 - 1) × π
    0.85931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69961443900308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01258279} λ = -2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69961443900308))-π/2
    2×atan(14.8739957865232)-π/2
    2×1.50366592021092-π/2
    3.00733184042185-1.57079632675     		φ = 1.43653551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43653551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.307422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5888 KachelY 2305 -2.01258279 1.43653551 -115.312500 82.307422
    Oben rechts KachelX + 1 5889 KachelY 2305 -2.01239105 1.43653551 -115.301514 82.307422
    Unten links KachelX 5888 KachelY + 1 2306 -2.01258279 1.43650984 -115.312500 82.305951
    Unten rechts KachelX + 1 5889 KachelY + 1 2306 -2.01239105 1.43650984 -115.301514 82.305951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43653551-1.43650984) × R
    2.56699999998666e-05 × 6371000     		dl = 163.54356999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43653551-1.43650984) × R
    2.56699999998666e-05 × 6371000     		dr = 163.54356999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01258279--2.01239105) × cos(1.43653551) × R
    0.000191739999999996 × 0.133857816682589 × 6371000     		do = 163.517434697251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01258279--2.01239105) × cos(1.43650984) × R
    0.000191739999999996 × 0.133883255622534 × 6371000     		du = 163.548510284052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43653551)-sin(1.43650984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133857816682589-0.133883255622534)×R²
    abs(-2.01239105--2.01258279)×2.54389399456656e-05×R²
    0.000191739999999996×2.54389399456656e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.54389399456656e-05×40589641000000     		ar = 26744.7661353451m²