Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58879 / 31294
↖ ↑ ↗
← N 68.075356°
W 18.283997°		 ← 114.04 m → N 68.075356°
W 18.281250°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
N 68.074330°
W 18.283997°		 ← 114.05 m →
13 006 m²		 N 68.074330°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449214935302734 y=0.238758087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449214935302734 × 217)
    floor (0.449214935302734 × 131072)
    floor (58879.5)     		tx = 58879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238758087158203 × 217)
    floor (0.238758087158203 × 131072)
    floor (31294.5)     		ty = 31294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58879 / 31294 ti = "17/58879/31294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58879/31294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58879 ÷ 217
    58879 ÷ 131072     		x = 0.449211120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31294 ÷ 217
    31294 ÷ 131072     		y = 0.238754272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449211120605469 × 2 - 1) × π
    -0.101577758789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31911594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238754272460938 × 2 - 1) × π
    0.522491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64145531678996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31911594} λ = -0.31911594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64145531678996))-π/2
    2×atan(5.16267737881798)-π/2
    2×1.37946771341177-π/2
    2.75893542682354-1.57079632675     		φ = 1.18813910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31911594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.283997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18813910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.075356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58879 KachelY 31294 -0.31911594 1.18813910 -18.283997 68.075356
    Oben rechts KachelX + 1 58880 KachelY 31294 -0.31906800 1.18813910 -18.281250 68.075356
    Unten links KachelX 58879 KachelY + 1 31295 -0.31911594 1.18812120 -18.283997 68.074330
    Unten rechts KachelX + 1 58880 KachelY + 1 31295 -0.31906800 1.18812120 -18.281250 68.074330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18813910-1.18812120) × R
    1.78999999997931e-05 × 6371000     		dl = 114.040899998682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18813910-1.18812120) × R
    1.78999999997931e-05 × 6371000     		dr = 114.040899998682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31911594--0.31906800) × cos(1.18813910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373386829555217 × 6371000     		do = 114.041948723081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31911594--0.31906800) × cos(1.18812120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373403434891114 × 6371000     		du = 114.047020420086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18813910)-sin(1.18812120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373386829555217-0.373403434891114)×R²
    abs(-0.31906800--0.31911594)×1.66053358968687e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66053358968687e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66053358968687e-05×40589641000000     		ar = 13005.7356608709m²