Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58878 / 46089
↖ ↑ ↗
← N 47.023334°
W 18.286743°		 ← 208.21 m → N 47.023334°
W 18.283997°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
N 47.021461°
W 18.286743°		 ← 208.22 m →
43 351 m²		 N 47.021461°
W 18.283997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449207305908203 y=0.351634979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449207305908203 × 217)
    floor (0.449207305908203 × 131072)
    floor (58878.5)     		tx = 58878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351634979248047 × 217)
    floor (0.351634979248047 × 131072)
    floor (46089.5)     		ty = 46089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58878 / 46089 ti = "17/58878/46089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58878/46089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58878 ÷ 217
    58878 ÷ 131072     		x = 0.449203491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46089 ÷ 217
    46089 ÷ 131072     		y = 0.351631164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449203491210938 × 2 - 1) × π
    -0.101593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31916388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351631164550781 × 2 - 1) × π
    0.296737670898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.932228886911232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31916388} λ = -0.31916388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932228886911232))-π/2
    2×atan(2.54016461227106)-π/2
    2×1.19575416244976-π/2
    2.39150832489953-1.57079632675     		φ = 0.82071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31916388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.286743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.023334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58878 KachelY 46089 -0.31916388 0.82071200 -18.286743 47.023334
    Oben rechts KachelX + 1 58879 KachelY 46089 -0.31911594 0.82071200 -18.283997 47.023334
    Unten links KachelX 58878 KachelY + 1 46090 -0.31916388 0.82067932 -18.286743 47.021461
    Unten rechts KachelX + 1 58879 KachelY + 1 46090 -0.31911594 0.82067932 -18.283997 47.021461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82071200-0.82067932) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82071200-0.82067932) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31916388--0.31911594) × cos(0.82071200) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.681700458576865 × 6371000     		do = 208.208867019283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31916388--0.31911594) × cos(0.82067932) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.681724367926529 × 6371000     		du = 208.216169550097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82071200)-sin(0.82067932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681700458576865-0.681724367926529)×R²
    abs(-0.31911594--0.31916388)×2.39093496636755e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39093496636755e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39093496636755e-05×40589641000000     		ar = 43350.7374602469m²