Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58877 / 46093
↖ ↑ ↗
← N 47.015844°
W 18.289489°		 ← 208.19 m → N 47.015844°
W 18.286743°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
N 47.013971°
W 18.289489°		 ← 208.20 m →
43 348 m²		 N 47.013971°
W 18.286743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449199676513672 y=0.351665496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449199676513672 × 217)
    floor (0.449199676513672 × 131072)
    floor (58877.5)     		tx = 58877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351665496826172 × 217)
    floor (0.351665496826172 × 131072)
    floor (46093.5)     		ty = 46093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58877 / 46093 ti = "17/58877/46093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58877/46093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58877 ÷ 217
    58877 ÷ 131072     		x = 0.449195861816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46093 ÷ 217
    46093 ÷ 131072     		y = 0.351661682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449195861816406 × 2 - 1) × π
    -0.101608276367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31921181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351661682128906 × 2 - 1) × π
    0.296676635742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.932037139312752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31921181} λ = -0.31921181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932037139312752))-π/2
    2×atan(2.53967758850123)-π/2
    2×1.19568880065226-π/2
    2.39137760130452-1.57079632675     		φ = 0.82058127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31921181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.289489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82058127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.015844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58877 KachelY 46093 -0.31921181 0.82058127 -18.289489 47.015844
    Oben rechts KachelX + 1 58878 KachelY 46093 -0.31916388 0.82058127 -18.286743 47.015844
    Unten links KachelX 58877 KachelY + 1 46094 -0.31921181 0.82054859 -18.289489 47.013971
    Unten rechts KachelX + 1 58878 KachelY + 1 46094 -0.31916388 0.82054859 -18.286743 47.013971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82058127-0.82054859) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82058127-0.82054859) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31921181--0.31916388) × cos(0.82058127) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681796098922422 × 6371000     		do = 208.194640812918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31921181--0.31916388) × cos(0.82054859) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.681820005359432 × 6371000     		du = 208.201940931053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82058127)-sin(0.82054859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681796098922422-0.681820005359432)×R²
    abs(-0.31916388--0.31921181)×2.39064370091135e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39064370091135e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39064370091135e-05×40589641000000     		ar = 43347.7752519804m²