Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58877 / 31109
↖ ↑ ↗
← N 68.264302°
W 18.289489°		 ← 113.08 m → N 68.264302°
W 18.286743°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
N 68.263284°
W 18.289489°		 ← 113.09 m →
12 796 m²		 N 68.263284°
W 18.286743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449199676513672 y=0.237346649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449199676513672 × 217)
    floor (0.449199676513672 × 131072)
    floor (58877.5)     		tx = 58877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237346649169922 × 217)
    floor (0.237346649169922 × 131072)
    floor (31109.5)     		ty = 31109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58877 / 31109 ti = "17/58877/31109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58877/31109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58877 ÷ 217
    58877 ÷ 131072     		x = 0.449195861816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31109 ÷ 217
    31109 ÷ 131072     		y = 0.237342834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449195861816406 × 2 - 1) × π
    -0.101608276367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31921181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237342834472656 × 2 - 1) × π
    0.525314331054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.65032364321967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31921181} λ = -0.31921181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65032364321967))-π/2
    2×atan(5.20866530362769)-π/2
    2×1.38111657670671-π/2
    2.76223315341342-1.57079632675     		φ = 1.19143683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31921181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.289489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19143683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.264302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58877 KachelY 31109 -0.31921181 1.19143683 -18.289489 68.264302
    Oben rechts KachelX + 1 58878 KachelY 31109 -0.31916388 1.19143683 -18.286743 68.264302
    Unten links KachelX 58877 KachelY + 1 31110 -0.31921181 1.19141907 -18.289489 68.263284
    Unten rechts KachelX + 1 58878 KachelY + 1 31110 -0.31916388 1.19141907 -18.286743 68.263284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19143683-1.19141907) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19143683-1.19141907) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31921181--0.31916388) × cos(1.19143683) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.370325580694088 × 6371000     		do = 113.083371081614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31921181--0.31916388) × cos(1.19141907) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.370342077935573 × 6371000     		du = 113.088408712763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19143683)-sin(1.19141907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370325580694088-0.370342077935573)×R²
    abs(-0.31916388--0.31921181)×1.64972414852804e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.64972414852804e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.64972414852804e-05×40589641000000     		ar = 12795.5508328783m²