Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58876 / 31106
↖ ↑ ↗
← N 68.267353°
W 18.292236°		 ← 113.09 m → N 68.267353°
W 18.289489°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
N 68.266336°
W 18.292236°		 ← 113.10 m →
12 789 m²		 N 68.266336°
W 18.289489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449192047119141 y=0.237323760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449192047119141 × 217)
    floor (0.449192047119141 × 131072)
    floor (58876.5)     		tx = 58876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237323760986328 × 217)
    floor (0.237323760986328 × 131072)
    floor (31106.5)     		ty = 31106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58876 / 31106 ti = "17/58876/31106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58876/31106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58876 ÷ 217
    58876 ÷ 131072     		x = 0.449188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31106 ÷ 217
    31106 ÷ 131072     		y = 0.237319946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.10162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31925975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237319946289062 × 2 - 1) × π
    0.525360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65046745391853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31925975} λ = -0.31925975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65046745391853))-π/2
    2×atan(5.20941441928927)-π/2
    2×1.38114320331869-π/2
    2.76228640663739-1.57079632675     		φ = 1.19149008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31925975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.292236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19149008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.267353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58876 KachelY 31106 -0.31925975 1.19149008 -18.292236 68.267353
    Oben rechts KachelX + 1 58877 KachelY 31106 -0.31921181 1.19149008 -18.289489 68.267353
    Unten links KachelX 58876 KachelY + 1 31107 -0.31925975 1.19147233 -18.292236 68.266336
    Unten rechts KachelX + 1 58877 KachelY + 1 31107 -0.31921181 1.19147233 -18.289489 68.266336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19149008-1.19147233) × R
    1.77499999998165e-05 × 6371000     		dl = 113.085249998831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19149008-1.19147233) × R
    1.77499999998165e-05 × 6371000     		dr = 113.085249998831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31925975--0.31921181) × cos(1.19149008) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.370276116136462 × 6371000     		do = 113.091856775362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31925975--0.31921181) × cos(1.19147233) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.370292604439004 × 6371000     		du = 113.096892727367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19149008)-sin(1.19147233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370276116136462-0.370292604439004)×R²
    abs(-0.31921181--0.31925975)×1.64883025421392e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64883025421392e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64883025421392e-05×40589641000000     		ar = 12789.3056425764m²