Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58874 / 31104
↖ ↑ ↗
← N 68.269387°
W 18.297730°		 ← 113.08 m → N 68.269387°
W 18.294983°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
N 68.268370°
W 18.297730°		 ← 113.09 m →
12 788 m²		 N 68.268370°
W 18.294983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449176788330078 y=0.237308502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449176788330078 × 217)
    floor (0.449176788330078 × 131072)
    floor (58874.5)     		tx = 58874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237308502197266 × 217)
    floor (0.237308502197266 × 131072)
    floor (31104.5)     		ty = 31104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58874 / 31104 ti = "17/58874/31104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58874/31104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58874 ÷ 217
    58874 ÷ 131072     		x = 0.449172973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31104 ÷ 217
    31104 ÷ 131072     		y = 0.2373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449172973632812 × 2 - 1) × π
    -0.101654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31935563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2373046875 × 2 - 1) × π
    0.525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65056332771777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31935563} λ = -0.31935563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65056332771777))-π/2
    2×atan(5.20991388958413)-π/2
    2×1.38116095241734-π/2
    2.76232190483467-1.57079632675     		φ = 1.19152558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31935563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.297730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19152558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.269387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58874 KachelY 31104 -0.31935563 1.19152558 -18.297730 68.269387
    Oben rechts KachelX + 1 58875 KachelY 31104 -0.31930769 1.19152558 -18.294983 68.269387
    Unten links KachelX 58874 KachelY + 1 31105 -0.31935563 1.19150783 -18.297730 68.268370
    Unten rechts KachelX + 1 58875 KachelY + 1 31105 -0.31930769 1.19150783 -18.294983 68.268370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19152558-1.19150783) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19152558-1.19150783) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31935563--0.31930769) × cos(1.19152558) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.370243139181402 × 6371000     		do = 113.081784764459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31935563--0.31930769) × cos(1.19150783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.370259627717259 × 6371000     		du = 113.086820787725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19152558)-sin(1.19150783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370243139181402-0.370259627717259)×R²
    abs(-0.31930769--0.31935563)×1.64885358574507e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.64885358574507e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.64885358574507e-05×40589641000000     		ar = 12788.1666509375m²