Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58872 / 39896
↖ ↑ ↗
← N 57.385783°
W 18.303223°		 ← 164.62 m → N 57.385783°
W 18.300476°		 →
↑
164.63 m
↓
↑
164.63 m
↓
N 57.384303°
W 18.303223°		 ← 164.62 m →
27 101 m²		 N 57.384303°
W 18.300476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449161529541016 y=0.304386138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449161529541016 × 217)
    floor (0.449161529541016 × 131072)
    floor (58872.5)     		tx = 58872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304386138916016 × 217)
    floor (0.304386138916016 × 131072)
    floor (39896.5)     		ty = 39896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58872 / 39896 ti = "17/58872/39896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58872/39896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58872 ÷ 217
    58872 ÷ 131072     		x = 0.44915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39896 ÷ 217
    39896 ÷ 131072     		y = 0.30438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30438232421875 × 2 - 1) × π
    0.3912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22910210625824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31945150} λ = -0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22910210625824))-π/2
    2×atan(3.4181590144074)-π/2
    2×1.28618359328617-π/2
    2.57236718657234-1.57079632675     		φ = 1.00157086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00157086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.385783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58872 KachelY 39896 -0.31945150 1.00157086 -18.303223 57.385783
    Oben rechts KachelX + 1 58873 KachelY 39896 -0.31940356 1.00157086 -18.300476 57.385783
    Unten links KachelX 58872 KachelY + 1 39897 -0.31945150 1.00154502 -18.303223 57.384303
    Unten rechts KachelX + 1 58873 KachelY + 1 39897 -0.31940356 1.00154502 -18.300476 57.384303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00157086-1.00154502) × R
    2.58399999999437e-05 × 6371000     		dl = 164.626639999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00157086-1.00154502) × R
    2.58399999999437e-05 × 6371000     		dr = 164.626639999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31945150--0.31940356) × cos(1.00157086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.538979806675415 × 6371000     		do = 164.618306298978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31945150--0.31940356) × cos(1.00154502) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.539001572010307 × 6371000     		du = 164.624953992494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00157086)-sin(1.00154502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538979806675415-0.539001572010307)×R²
    abs(-0.31940356--0.31945150)×2.17653348917324e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17653348917324e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17653348917324e-05×40589641000000     		ar = 27101.1058435682m²